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Niveau Maths sup
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similitudes

Posté par jacko78 (invité) 04-09-05 à 12:56

Bonjour, quelqu'un a-t-il de l'aide a me proposer la dessus svp...?

# Soit G un sous-groupe fini du groupe des similitudes planes directes.
Montrer que les éléments de G ont un point fixe commun. En déduire la nature de G.

# Montrer que 60 est le plus petit entier n tel que \sigma^n soit l'identité pour toute permutation \sigma de S_5. Y a-t-il une permutation d'ordre 60 dans S_5 ?

Pour le second je suis embeté je sais pas ce qu'est une permutation "d'ordre" 60...

Merci d'avance a tous ceux qui pourront m'aider
:?

Posté par
piepalm
re : similitudes 04-09-05 à 22:12

Un groupe fini de similitudes...
Donc une puissance finie est l'identité, n'est-ce pas?

Un élément d'ordre 60 est tel que sa première puissance égale à l'élément neutre est la soixantième...

Posté par jacko78 (invité)re : similitudes 04-09-05 à 23:04

pour le second ca ira mais pour le premier... vois pas
HELP !!!

Posté par
piepalm
re : similitudes 04-09-05 à 23:17

Puisqu'une puissance finie de tout élément est l"identité, les similitudes ne peuvent être que des rotations; reste à prouver qu'elles ont le même centre. pour cela on doit pouvoir montrer que s'il y a deux centres distints, on génère une infinité de rotations différentes, ce qui est impossible puisque le groupe est fini...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : similitudes 05-09-05 à 04:18

Si j'ai bonne mémoire;
Une similitude affine plane directe est soit une translation soit le produit (commutatif) d'une homothétie est d'une rotation de mm centre.Ainsi,dans le plan complexe,une similitude s qui n'est pas une translation se determine par la donnée d'un couple (\omega,a)\in\mathbb{C}\times{\mathbb{C}}^* et on a:
2$\fbox{\forall z\in\mathbb{C}\\s(z)=az+(1-a)\omega} ( on écrira par la suite s=[\omega,a])
\omega,|a| et arg(a) désignant respectivement centre,rapport et angle de la similitude directe s.
il est alors facile de voir que:
2$\fbox{\forall n\in\mathbb{Z}\\\forall z\in\mathbb{C}\\s^{n}(z)=a^{n}z+(1-a^n)\omega}
Ainsi si G=\{s_1,..,s_p\} est un sous groupe fini du groupe des similitudes planes directes, G ne comporte pas de translation de vecteur non nul (puisque {t_{\vec{u}}}^n=t_{n\vec{u}})
et si s_k=[\omega_k,a_k] on doit avoir:
\fbox{\forall k\in\{1,..,p\}\\a_{k}^p=1} puisque s_{k}^p=Id(lagrange)
\fbox{a_k\in\{e^{\frac{2in\pi}{p}}/n=0,..,p-1\}}
en particulier on a |a_k|=1 et s_k n'est donc autre que la rotation de centre \omega_k et d'angle \theta_k=\frac{2n\pi}{p}
(n\in\{0,..,p-1\})
il faut à présent montrer que tous les s_k ont le mm centre (ce qui répondra à la question).



Posté par
piepalm
re : similitudes 05-09-05 à 06:46

Je détaille ce que j'ai écrit plus haut:
La composition d'une rotation r (O,a) et d'une rotation r' (W,b) (a et b ont pour module 1, je prends O comme origine et W a pour affixe w) sera telle que
(r'°r)(z)=abz+(1-b)w=abz+(1-ab)w(1-b)/(1-ab)
C'est donc une rotation autour du point d'affixe w(1-b)/(1-ab)=w/(1+(1-a)/(1-b))
Le centre de cette rotation se déduit de W par une similitude dont le rapport n'est pas égal à 1 (si la rotation r n'est pas l'identité). En itérant, ja vais donc bien obtenir une infinité de centres de rotations, donc...

Posté par
piepalm
re : similitudes 05-09-05 à 07:27

Excusez-moi, ce que j'ai écrit plus haut n'est pas clair (on pourrait itérer en calculant r'°r°r... et comme il existe k tel que a^k=1...) Il faut en fait calculer r'°r°r'°...°r

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : similitudes 05-09-05 à 16:20

Bonjour;
notons U_p le groupe des racines p-ièmes de l'unité et considérons l'application:
2$\fbox{\Phi:G\to U_p\\ [\omega,a]\to a} c'est clairement un morphisme de groupe injectif puisque Ker\Phi=\{Id\} (G ne contient pas de translation autre que l'Id)
et comme Card(G)=Card(U_p)=p c'est un isomorphisme.
G est donc cyclique (puisque U_p l'est) engendré par s=[\omega,e^{\frac{2i\pi}{p}}] et toutes les autres similitudes de G étant des puissances de s elles ont nécéssairement le mm centre \omega.
CQFD



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