Bonjour, quelqu'un a-t-il de l'aide a me proposer la dessus svp...?
# Soit G un sous-groupe fini du groupe des similitudes planes directes.
Montrer que les éléments de G ont un point fixe commun. En déduire la nature de G.
# Montrer que 60 est le plus petit entier n tel que soit l'identité pour toute permutation de . Y a-t-il une permutation d'ordre 60 dans ?
Pour le second je suis embeté je sais pas ce qu'est une permutation "d'ordre" 60...
Merci d'avance a tous ceux qui pourront m'aider
:?
Un groupe fini de similitudes...
Donc une puissance finie est l'identité, n'est-ce pas?
Un élément d'ordre 60 est tel que sa première puissance égale à l'élément neutre est la soixantième...
pour le second ca ira mais pour le premier... vois pas
HELP !!!
Puisqu'une puissance finie de tout élément est l"identité, les similitudes ne peuvent être que des rotations; reste à prouver qu'elles ont le même centre. pour cela on doit pouvoir montrer que s'il y a deux centres distints, on génère une infinité de rotations différentes, ce qui est impossible puisque le groupe est fini...
Si j'ai bonne mémoire;
Une similitude affine plane directe est soit une translation soit le produit (commutatif) d'une homothétie est d'une rotation de mm centre.Ainsi,dans le plan complexe,une similitude qui n'est pas une translation se determine par la donnée d'un couple et on a:
( on écrira par la suite )
et désignant respectivement centre,rapport et angle de la similitude directe .
il est alors facile de voir que:
Ainsi si est un sous groupe fini du groupe des similitudes planes directes, ne comporte pas de translation de vecteur non nul (puisque )
et si on doit avoir:
puisque (lagrange)
en particulier on a et n'est donc autre que la rotation de centre et d'angle
()
il faut à présent montrer que tous les ont le mm centre (ce qui répondra à la question).
Je détaille ce que j'ai écrit plus haut:
La composition d'une rotation r (O,a) et d'une rotation r' (W,b) (a et b ont pour module 1, je prends O comme origine et W a pour affixe w) sera telle que
(r'°r)(z)=abz+(1-b)w=abz+(1-ab)w(1-b)/(1-ab)
C'est donc une rotation autour du point d'affixe w(1-b)/(1-ab)=w/(1+(1-a)/(1-b))
Le centre de cette rotation se déduit de W par une similitude dont le rapport n'est pas égal à 1 (si la rotation r n'est pas l'identité). En itérant, ja vais donc bien obtenir une infinité de centres de rotations, donc...
Excusez-moi, ce que j'ai écrit plus haut n'est pas clair (on pourrait itérer en calculant r'°r°r... et comme il existe k tel que a^k=1...) Il faut en fait calculer r'°r°r'°...°r
Bonjour;
notons le groupe des racines p-ièmes de l'unité et considérons l'application:
c'est clairement un morphisme de groupe injectif puisque ( ne contient pas de translation autre que l')
et comme c'est un isomorphisme.
est donc cyclique (puisque l'est) engendré par et toutes les autres similitudes de étant des puissances de elles ont nécéssairement le mm centre .
CQFD
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