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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Simple conexité

Posté par
Kahan15
29-09-21 à 12:53

Bonjour a tout
Dans le cadre de mes études, je suis tombé dans  une notion topologique que je ne comprenais pas bien appelé  la  simple connexité. Je suis allé voir la définition  (celle par homotopie), j'ai trouvé :
On dit qu'un domaine D (un ensemble ouvert connexe ) est simplement connexe si tout chemin fermé \gamma inclus dans D est homotope à un point.  Autrement dit, si tout chemin fermé  \gamma inclus dans D peut être réduit à un point par déformation  continue, sans quitter D.  D'autre part, si  \gamma_1 : [a, b]\to \mathbb{C}, t \to \gamma_1 (t),  et   \gamma_2 : [a, b]\to \mathbb{C}, t \to \gamma_2 (t) deux chemins fermé définis sur le même intervalle [a, b], tel que \gamma_1 (a)=\gamma_2 (a). On dit que \gamma_1 et \gamma_2 sont homotopes dans D\subset \mathbb{C} s'il existe une application continue  F: [a,b] \times[0, 1] \to D, (t,s) \to F(t,s), telle que :
F(t, 0) =\gamma_1(t), \forall t \in [a, b] ,
F(t,1)  =\gamma_2(t), \forall t \in [a, b],
F(a, s) =\gamma_1 (a) = \gamma_2 (a), \forall t \in [0, 1] .
Mon problème est de montrer que: un disque est simplement connexe et le disque privé  de son centre n'est pas simplement connexe:
Pour un disque  D(z,r) avec z\in \mathbb{C} et r>0 : D(z,r) est un domaine de plus, si  on prend un chemin fermé \gamma   défini sur [a,b] et z_0 un point de ce chemin ( question: Est-ce que ce que j'ai écrit est correct ? autrement dit, le choix de z_0 doit-il appartenir au chemin choisi ?). Considérons l'application continue  F: [a,b] \times[0, 1] \to D(z,r), (t,s) \to s\gamma (t) +(1-s)z_0, cette fonction vérifie les hypothèses de homotopie, d'où D(z,r)  est simplement connexe.
Mais j'ai aucun idée pour montrer que pour le domaine   D(z,r) \setminus \{z\}  n'est pas simplement connexe. s'il vous plaît ce que j'ai essayé de montrer correct? sinon aidez-moi à mieux comprendre cette notion?

Posté par
malou Webmaster
re : Simple conexité 29-09-21 à 12:56

Bonjour Kahan15 et bienvenue
1re ou 2e année de licence ?

Posté par
Kahan15
re : Simple conexité 29-09-21 à 13:06

J'ai fais un erreur, si un cours d'analyse complexe pour 3ème année licence

malou edit > OK, j'ai modifié le profil

Posté par
DOMOREA
Simple conexité 29-09-21 à 13:58

bonjour,
regarde un chemin fermé qui entoure z et un deuxième qui n'entoure par z ayant F(a,s) en commun

Posté par
DOMOREA
Simple conexité 02-10-21 à 11:51

bonjour,
alors pas de nouvelles?
tu pourrais observer que dans le deuxième cas (D(z,r)\{z} il existe u \in[0,1]; z=u\gamma_2(t)+(1-u)z_0
alors ...



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