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simple question de calcul diff 
Salut
Soit
J'ai de
dans
J'ai montré avec succès 
que est un
-difféomorphisme de
sur
puis que la matirce jacobienne de
est l'inverse de celle de
Maintenant, on pose et
Je dois exprimer les dérivées partielles de en fonctions de celles de
Donc j'ai eu l'idée (
) d'utiliser les matrices jacobiennes.
On a sauf erreurs :
Mais est une matrice 1 ligne 2 colonnes, la seconde matrice est une matrice 1 ligne 2 colonnes et la dernière une matrice carrée d'ordre 2
N'y a-t-il une incompatibilité pour en déduire des équations ?
Merci
Re fusionfroide
Pourquoi y aurait-il une incompatiblité ? Ce produit matriciel me semble tout à fait licite.
En effet, le nombre de colonnes de la deuxième matrice est le même que celui de ligne de la dernière matrice et donc il n'y a aucun problème.
Kaiser
D'accord merci, c'était juste une interrogation passagère, mais je préfère en être sûr pour ne plus douter la prochaine fois
A+
Désolé encore une question pour 2007
Dans une question, on me demande de montrer que f est un C^1-difféormophisme local sur R^2, mais n'est pas un C^1 difféomorphisme sur R^2
Je ne vois pas bien où intervien le caractère local, puisque dans les deux on travaille sur R^2
Merci
Justement, le fait de préciser local est très important est c'est bien sûr plus faible que difféomorphisme tout court.
Prenons un exemple simple en nous plaçant sur ouvert de .
Prenons et considérons l'application f définie par
.
Il est clair que f ainsi définie n'est pas un difféomorphisme (elle n'est pas injective).
Par contre, elle est un difféomorphisme local (remarque : si l'on n'avait pas enlevé le 0, cela ne serait plus vrai).
Cela te convient-il comme explication ?
Kaiser
Bon d'accord
Donc l'argument "injextif" est très imporatant.
D'autre part, et qu'en est-il pour toute application de R dans R ?
Peut-elle être un difféomporphisme sans être un difféomorphisme local ?
Ici, tu as choisi R* (PS : ton exemple me va tout à fait )
Merci
Dans le cas de et plus généralement, pour tout intervalle réel I on a une caractérisation assez sympathique des
-difféomorphismes.
En effet, si f est une fonction définie sur un intervalle réel I alors f est -difféomorphisme sur son image si et seulement si f est de classe
et si sa dérivée ne s'annule pas sur I.
Dans ce cas-là, il me semble que les deux notions coïncident mais cela semble faux dans le cas où l'on n'est pas sur un intervalle (voir mon contre-exemple).
Kaiser
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