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simplification: arctan et arccos...

Posté par
Marie-C 04-10-07 à 23:18

Bonsoir
comment simplifie t'on?

cos(arctanx)
arctan(\frac{1-x}{1+x}
pour la première, j'ai décomposé arctanx
donc, ça fait
cos (\frac{arcsinx}{arccosx})
Est ce cela?
Pour la seconde, je n'ai pas d'idées.

Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 00:04

Bonsoir

La première :

3$\rm cos(2arctan(x))=2cos^{2}(Arctan(x))-1

Or on sait que si t=tan(X/2) :
3$\rm cos(X)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}
On a donc :
3$\rm cos(2X)=\frac{1-tan^{2}(X)}{1+tan^{2}(X)}
D'où :
3$\rm cos(2Arctan(x))=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}

Or 3$\rm cos^{2}(Arctan(x))=\frac{1}{2}\(cos(2Arctan(x))+1\)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 00:05

Au passage Arctan(x) n'est pas égal à Arcsin(x)/Arccos(x).

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 00:10

Pour la seconde en dérivant puis en intégrant on devrait s'en sortir :
3$\rm \frac{d}{dx} \frac{1-x}{1+x}=-\frac{2}{(1+x)^{2}}
D'où :
3$\rm \frac{d}{dx} Arctan(\frac{1-x}{1+x})=-\frac{2}{(1+x)^{2}\times \(1+\frac{(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}\)}=-\frac{2}{(1+x)^{2}+(1-x)^{2}}=-\frac{1}{x^{2}+1}
D'où 3$\rm Arctan(\frac{1-x}{1+x})=-Arctan(x)+C

On fixe un x pour trouver C et c'est gagné.

Posté par
veledare : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 00:14

bonsoir,
soit u=arctanx alors -/2<u</2 donc cosu0

1+tanu²=1/cosu²  donc cosu²=1/(1+tanu²)=1/(1+x²) et cosu=1/(1+x²)

pour le second :
si l'on pose x=tanu  (1-x/)(1+x)=tan(/4-u)
on doit donc simplifier arctan(tan(/4-u))

sauf erreur de ma part

Posté par
veledare : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 10:43

donc
arc(tan(1-x)/(1+x))=/4-u=/4-arctan(x)
désolée j'avais oublié de taper la dernière ligne

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 21:22

merci à vous deux

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 21:58

rebonsoir
Nightmare; j'aimerais savoir si le seul moyen de résoudre des équation comme celle ci dessus, c'est de dériver puis de primitiver
Si par exemple, on a
3$2arcsinx = arcsin(2x\sqrt{1-x^2}), on fait pareil?

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:00

Pardon, je te dis n'importe quoi
C'était pas une équation, j'ai confondu (avec un autre exo)

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:09

Je ne comprends pas... Que faut-il faire?

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:14

pour ta première simplification, il y a quand même quelque chose que je n'ai pas compris
A la fin, tu as
4$\rm cos^{2}(Arctan(x))=\frac{1}{2}\(cos(2Arctan(x))+1\)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
donc tu as 3$cos^{2}(Arctan(x)) et non pas 3$cos(arctan(x))

par ailleurs, comment tu trouves que
3$\rm cos(2arctan(x))=2cos^{2}(Arctan(x))-1

merci

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:15

Oui en fait la dernière égalité je suis passé à la racine on obtient donc bien cos(Arctan(x))

Sinon j'ai dit que cos(2x)=2cos²(x)-1

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:19

Ah, oui, bien sûr tu t'es servi de la formule
cos²x+sin²x = 1
Mais en tout cas, il faut être super intelligent pour trouver cette astuce.
Merci
Toutes mes excuses, pour:
4$2arcsinx = arcsin(2x\sqrt{1-x^2}), il s'agit de résoudre l'équation.

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:56

Nightmare, j'ai encore besoin de tes lumières
Normalement, si j'ai compris,je devrais pouvoir simplifier
sin(arctan(x)) de la même façon.
Cependant, comment débute t-on? (on ne peut pas se servir des formules trigonométriques, non?)

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:57

ben c'est la même idée :

Que vaut sin(2x) ?

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 22:59

sin(2x)=2 sin(x)cos(x)

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:00

Voila.

Donc reprends le même raisonnement que j'ai employé, sachant qu'avec t=tan(x/2), sin(x)=2t/(1+t²)

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:15

donc on a:
3$sin(2X)=\frac{2tanX}{1+tan^2(x)}
d'où
3$sin(2Arctan(x))=\frac{2x}{1+x^2}
3$ sin(2arctan(x)=2cos(arctanx)sin(arctanx)
3$ sin(arctanx)=\frac{sin(2arctanx)}{2cos(arctan(x))}
4$\fbox\red sin(arctan(x))=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}
c'est ça?

Posté par
Nightmarere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:19

Euh presque, la dernière ligne est fausse, sin(2Arctan(x))/(2cos(Arctan(x)) n'est pas égal à ce que tu as marqué !

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:21

c'est 3$\red \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Posté par
infophilere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:26

Pour redresser l'écriture de tes fonctions trigo tu peux placer un \ devant, ex : \arctan(x)

Salut Jord

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:32

ok merci

Posté par
Marie-Cre : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:34

bonne nuit les petits nenfants!!

@+

Posté par
infophilere : simplification: arctan et arccos... 05-10-07 à 23:45

bonne nuit grande ^^


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