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Simplification de sommes

Posté par
Kekeee 12-09-20 à 18:16

Bonjour, j'ai du mal à voir comment je pourrais débuter la question 2.

Soient x et n *.

1. Simplifier Cn(x):={\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right)} cos (kx) et Sn(x):= {\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right)} sin (kx).

2. Simplifier Dn(x):={\sum_{k=0}^{n}} (-1)^k 2^-^kcos(kx).

3. On pose w:= e(2i)/n. Simplifier {\sum_{k=0}^{n-1}} (-1)^k w^k.

Je ne dirais pas non pour quelques pistes de départ s'il vous plait. Merci beaucoup!

Posté par
flightre : Simplification de sommes 12-09-20 à 18:24

salut

à l'oeil et en calculant  Cn(x) + iSn(x) ?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 18:26

Bonjour j'ai fait la question et j'ai trouvé :

Cn=2ncosn(x/2)cos(nx/2)

Sn=2ncosn(x/2)sin(nx/2)

Ensuite pour la 2 je ne vois pas..

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 19:28

salut

2/ toujours avec la même idée je calculerai s(x) = \sum_0^n (-2)^{-k}[ \cos (kx) + i \sin (kx)] ..

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 19:40

Ok mais sans la formule du binôme de Newton j'ai un peu de mal à voir comment développer

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 19:45

pas besoin de binôme ...

il suffit de retourner en première et reconnaître ... ??

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:08

C'est égale à {\sum_{k=0}^{n}} (-2)^-^k e^i^k^x ?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:13

Et donc on peut dire que c'est égale à :
{\sum_{k=0}^{n-1}}( (-2)^-^1e^i^x )^k=-1/2{\sum_{k=0}^{n-1}}( (-e^i^x )/2)^k et ainsi on retrouve la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison (-eix)/2 d'où peut-être le rappel du cours de première?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:14

Oups petite coquille: ne pas lire le -1/2 devant la somme

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:15

Et deuxième coquille: lire pour k allant de 0 à n et pas n-1
Ça fait un coquillage à la fin..

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:23

suite géométrique : ben voila !!

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 20:36

Ok cependant j'ai toujours  un isin(kx) dans ma somme non?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 21:19

?

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 21:25

ben quand tu auras calculé proprement cette somme il suffira d'en prendre la partie réelle ...

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 21:45

Okay alors j'ai:

{\sum_{k=0}^{n}}( (-e^i^x )/2)^k=(1-(-eix/2)n+1)/(1-(-eix/2)
          = (1-(-eix/2)n+1)/(1+eix/2)
          = [(e02n+1-(-eix)n+1)/2n+1 ]*[2/(2e0-(-eix)]
          =[e02n-(-eix)n]/2n

Suis je sur la bonne voix? Ensuite je remplace la forme exponentielle par la forme trigo et je ne prend que la partie réelle

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 22:52

peut-être ... mais difficile à lire ....

pourquoi ne pas continuer en LaTeX ? et surtout simplifier !

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 23:13

J'essaie de poursuivre en latex:
=\frac{e^02n-(-e^i^x)^n}{2^n}=\frac{2^n+e^i^n^x}{2^n}=\frac{2^n+cos(nx)+isin(nx)}{2^n}

Donx en prenant la partie réelle on arrive à :

Dn(x)=1+\frac{cos(nx)}{2^n}

I'm not sure...

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 12-09-20 à 23:14

Coquille: lire 2^n sur le premier quotient

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 12-09-20 à 23:35

je ne comprends pas où est passé l'exponentielle au dénominateur ...

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 13-09-20 à 09:19

Lorsque je divise 2n+1-(-eix/2)n+1 par 2-(-eix non?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 13-09-20 à 09:20

Ah non... mince

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 13-09-20 à 09:34

Je pourrais avoir de l'aide pour le calcul svp?

Posté par
carpediemre : Simplification de sommes 13-09-20 à 09:53

c'est un bon exercice en travaillant avec méthode et rigueur avec un papier et un crayon ...

donc à toi de le mener proprement !!

EX : en prépa se traîner un e^0 pendant trois lignes de calcul (post de 21h45) ... ça craint un peu !!! (mais bon c'est le début de l'année !! )

j'attends donc de voir proprement écrit le résultat de cette somme et que tu aies commencé à le simplifier ...

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 13-09-20 à 14:44

Puis-je envoyer une photo de mon calcul?

Posté par
Kekeeere : Simplification de sommes 13-09-20 à 14:44

svp?


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