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simplification: noyau de Dirichlet

Posté par
Marie-C 05-10-07 à 19:17

Bonjour chers mathîliens(et mathîliennes, qui ne comptent pas pour des prunes)

J'aimerais savoir comment on simplifie
\sum_{k=0}^n cos(kx)
Je sais que cela correspond à la partie réelle de ekixet que donc on se retrouve avec une suite géométrique que l'on peut simplifier de la manière suivante:
\frac{1-e^{ki(n+1)x}}{1-e^{kix}}
Mais comment continuer?

par ailleurs, j'ai le même problème pour
\sum_{k=o}^n\(n\\k\)cos(kx)
on retombe sur la formule du binôme (1+eix)nmais après comment faire?
Grâce à un site que kévin m'a indiqué, je connais la réponse mais je ne comprends pas le raisonnement qui suit.
Merci d'avance
PS: le noyau de Dirichlet correspond à une autre simplification mais si j'ai compris celles ci, je comprendrai les autres.

Posté par
lafol Moderateurre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:30

Re bonjour
comment continuer ? en cherchant la partie réelle de ta fraction ....

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:39

J'ai fait une erreur, c'est
\frac{1-e^{ix(n+1)}}{1-e{ix}}
donc, la partie réelle, c'est
\frac{1-cos(n+1)x}{1-cosx}

Posté par
lafol Moderateurre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:40

t't't'
on ne multiplierait pas un peu par le conjugué du bas, avent de séparer ?

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:45

euh........
donc, ça donnerait
(1-eix(n+1))(1+eix)au numérateur et 1+ e2ixau dénominateur

Posté par
lafol Moderateurre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:47

normalement, z\bar{z}=|z|^2, réel ....

Posté par
lafol Moderateurre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 19:48

le conjugué de 1-e^{ix} n'est pas 1+e^{ix} mais 1-e^{-ix}

Posté par
Skopsre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 20:04

Bonsoir,

1 =e^i0 et tu continues avec l'angle moitié

BOnne chance

Skops

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 20:06

ok, merci donc
on a (1-eix(n+1))(1-e-ix)
et 2-e-ix-eix
est ce juste,ou non?

Posté par
gui_toure : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 20:09

Bonjour à tous

5$1-e^{i\theta}=e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}})

En l'écrivant un peu différement, on reconnaît les formules d'Euler, non ?

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 20:18

salut à vous deux
effectivement!
Cela, c'est pour le dénominateur et pour le numérateur, on aurait
e^{ix \frac{n+1}{2}}(e^{-ix\frac{n+1}{2}}-e^{ix\frac{n+1}{2}})

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 20:23

soit finalement
e^{ix\frac{n}{2}}(\frac{sin(\frac{n+1}{2}x)}{sin\frac{x}{2}})

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 21:50

donc pour 5$(1+e^{ix})^n=(e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{-ix}{2}}+e^{\frac{ix}{2}})^n=e^{\frac{inx}{2}}(2^ncos(\frac{ix}{2})^n)

Posté par
Skopsre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 22:39

4$cos(\frac{ix}{2}) ?

Skops

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 22:44

Oupssssssssssssss
5$(1+e^{ix})^n=(e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{-ix}{2}}+e^{\frac{ix}{2}})^n=e^{\frac{inx}{2}}(2^ncos(\frac{x}{2})^n)

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 22:45

C'est mieux comme ça, non?

Posté par
Skopsre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 23:00

Oui

Skops

Posté par
Marie-Cre : simplification: noyau de Dirichlet 05-10-07 à 23:15

merci


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