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Simplification somme de Binomiale (Combinaison)

Posté par
web 14-06-10 à 21:21

Bonsoir,
Est ce que quelqu'un aurait des idées pour simplifier cette somme de binomiale (en annexe)?
J'ai commencé la résolution mais je suis bloqué là :
apres simplification de K! avec (k+1)!
\\ \frac{n!} {(2n+1)!} \sum_{k=0}^n (k+1) \frac{2n-k} {n-k} \\
en ajoutant n! au numérateur et au dénominateur j'arrive à

\\ \frac{(n!)^2} {(2n+1)!} \sum_{k=0}^n (k+1) {2n-k\choose n} \\


il faut que la réponse ne presente plus de sommation (je sais juste que le final est \frac{2}{n+2} il me faut le développement :p)

Merci

Simplification somme de Binomiale (Combinaison)

Posté par
vinz62re : Simplification somme de Binomiale (Combinaison) 14-06-10 à 21:48

ben j'arrive au meme endroit que toi c'est deja ça ^^

Posté par
webre : Simplification somme de Binomiale (Combinaison) 14-06-10 à 21:59

^^ par contre après je vois vraiment pas de formules ou d'astuces pour simplifier plus :p

Il y a peut etre une autre manière de démarrer ...

Posté par
jandri Correcteurre : Simplification somme de Binomiale (Combinaison) 14-06-10 à 23:21

Bonsoir,

C'est un bon début.
On continue en écrivant 3$k+1 = (n+1)-(n-k) puis en simplifiant le n-k.
On termine en utilisant la formule:
4$\Bigsum_{k=0}^n{a+k\choose a}={a+n+1\choose a+1}.

Posté par
webre : Simplification somme de Binomiale (Combinaison) 15-06-10 à 11:20

Bonjour,
apres factorisation de n-k dans le deuxieme terme et utilisaiton de votre formule dans le premier terme j'arrive à :
\\ \frac{(n!)^2 (n+1)}{(2n+1)!} {2n +1 \choose n+1} - \frac{n!}{(2n+1)!} {\sum_{i=0}^n {2n -k \choose n+1}} \\
est ce correct jusque ici? apres je ne vois pas comment faire pour se debaresser de  2n -k \choose n+1

(Ps: d'ou vient la formule que vous m'avez donné?)

Merci

Posté par
jandri Correcteurre : Simplification somme de Binomiale (Combinaison) 15-06-10 à 12:16

Il y a une petite erreur dans le second sigma:
c'est \\ \frac{(n!)^2 (n+1)}{(2n+1)!} {2n +1 \choose n+1} - \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} \Bigsum_{k=0}^{n-1}(n+1) {2n -k \choose n+1} \\ (car pour k=n c'est nul)
puis \Bigsum_{k=0}^{n-1} {2n -k \choose n+1}=\Bigsum_{i=0}^{n-1} {n+1+i \choose n+1}={2n+1\choose n+2}

La formule 4$\Bigsum_{k=0}^n{a+k\choose a}={a+n+1\choose a+1} se montre en écrivant 4${a+k\choose a}={a+k+1\choose a+1}-{a+k\choose a+1} (somme télescopique).


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