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simplification somme qcm

Posté par Lolly (invité) 12-06-05 à 15:11

Salut,
pouvez vous me donner une méthode rapide de calculer la somme suivante (qcm), 2/3 + 2/(3^2)+ 2/(3^3)+ 2/ (3^4)+ 2/ (3^5)

Réponses: 2-2/(3^5)
          1-1/(3^5)      
          1-1/(3^6)    
          3-1/(3^6)

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:16

Bonjour,

Tu factorise par 2 déjà :

4$2(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5})

Et tu reconnais une suite géométrique de raison un tiers.

A plus

Posté par
infophilere : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:16

Bonjour

As-tu pensé aux suites ?

j'espère ne pas dire de bétise

Posté par
infophilere : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:17

Non je ne me suis pas trompé !

Ben merci clemclem

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:18

De rien

A plus

Posté par Lolly (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:22

quelle est la forme d'une suite géométrique?
merci lolly

Posté par
infophilere : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:28

>>Lolly

"Soit (Un) une suite numérique, on dit que (Un) est une suite géométrique  de raison q , si et seulement si on déduis un terme en multipliant le terme précédent par q" .

Ca c'est la définition.

U_{n+1}=qU_{n}

Posté par Lolly (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:34

mais pour la réponse ça ne m'aide pas je sais amintenant que q=1/3 mais après?
merci

Posté par
Nightmarere : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:37

Bonjour

1+q+...+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} (propriété du cours)

Ici tu prends q=1/3 et tu as ta réponse


Jord

Posté par Lolly (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:46


en fait tu as 1-(1/3)^6/(1-1/3)

et après tu simplifie comment?

merci

Posté par danskala (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:46

salut,

\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{2}{3^5}
=2\times(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5})
=2\times(\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{3})^4+(\frac{1}{3})^5)

Soit S=\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{3})^4+(\frac{1}{3})^5  . S est la somme de 5 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 1/3

Une suite géométrique est de la forme u_{n}=a\times q^n où q s'appelle la raison de la suite. (ici on a : a=1 et q=1/3)

La somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique est :
\textrm (premier terme de la somme)\times\frac{1-q^{n}}{1-q} avec q raison de la suite

En l'occurrence, le premier terme de la somme S est 1/3 et la raison de la suite est 1/3 donc la somme cherchée est
S=\frac{1}{3}\times\frac{1-(\frac{1}{3})^5}{1-\frac{1}{3}}
S=\frac{1-(\frac{1}{3})^5}{3-1}
S=\frac{1-(\frac{1}{3})^5}{2}

Finalement
\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{2}{3^5}=2\times\frac{1-(\frac{1}{3})^5}{2}=1-(\frac{1}{3})^5

bye

Posté par Lolly (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 15:57

ok, merci bien pour ta démonstration,
lolly

Posté par danskala (invité)re : simplification somme qcm 12-06-05 à 16:00

De rien


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