Niveau Maths sup

simplifier 1 expression

Posté par
roxane 31-10-04 à 17:39

bonjour,

soit x R
on doit simplifier:

$\sum_{k=1}^N f(k)$

avec N=E(n/2)
et f(k)=(n)sin(kx)
(2k)

(n)
(2k) désigne 2k parmi n, une combinaison de 2k élements pami n.

je pense qu'on doit se servir du binome de Newton, de la formule de moivre et de la parité de k mais j'y arrive pas, une idée à me proposer svp?

Posté par re : simplifier 1 expression 01-11-04 à 18:41

L'idée est bonne

en sommant
$\left(1+e^{ix}\right)^n=\Bigsum_{k=0}^n\left(\begin{tabular}{c}n\\k\end{tabular}\right)e^{ikx}$ et
$\left(1-e^{ix}\right)^n=\Bigsum_{k=0}^n\left(\begin{tabular}{c}n\\k\end{tabular}\right)(-1)^ke^{ikx}$
on ne conserve que les coefficients pairs.

$\left(1+e^{ix}\right)^n+\left(1-e^{ix}\right)^n=2 \Bigsum_{k=0}^{E(\frac n 2)}\left(\begin{tabular}{c}n\\2k\end{tabular}\right)e^{i2kx}$ (1)

La différence des expressions (1) en $\frac x 2$ et en $-\frac x 2$ conduit à

$\left(1+e^{i\frac x 2}\right)^n+\left(1-e^{i\frac x 2}\right)^n-\left(1+e^{-i\frac x 2}\right)^n-\left(1-e^{-i\frac x 2}\right)^n = 2 \Bigsum_{k=0}^{E(\frac n 2)}\left(\begin{tabular}{c}n\\2k\end{tabular}\right)\left(e^{ikx}-e^{-ikx}\right) = 4.i\Bigsum_{k=1}^{E(\frac n 2)}\left(\begin{tabular}{c}n\\2k\end{tabular}\right)\sin(kx)$ (le terme k=0 vaut 0 et peut être supprimé)
D'où le résultat attendu.

Si on veut pousser plus loin la simplification, on passe par la factorisation avec les arcs moitié :

$\Bigsum_{k=1}^{E(\frac n 2)}\left(\begin{tabular}{c}n\\2k\end{tabular}\right)\sin(kx) = -\frac i 4 \left[e^{i n\frac x 4} \left( e^{-i\frac x 4}+e^{i\frac x 4} \right)^n+ e^{i n\frac x 4} \left( e^{-i\frac x 4}-e^{i\frac x 4} \right)^n - e^{-i n\frac x 4} \left( e^{i\frac x 4}+e^{-i\frac x 4}\right)^n - e^{-i n\frac x 4} \left( e^{i\frac x 4}+e^{-i\frac x 4} \right)^n\right]$
Où

$\Bigsum_{k=1}^{E(\frac n 2)}\left(\begin{tabular}{c}n\\2k\end{tabular}\right)\sin(kx) = -\frac i 4 \left[e^{i n\frac x 4} \left( e^{-i\frac x 4}+e^{i\frac x 4} \right)^n+ e^{i n\frac x 4} \left( e^{-i\frac x 4}-e^{i\frac x 4} \right)^n - e^{-i n\frac x 4} \left( e^{i\frac x 4}+e^{-i\frac x 4}\right)^n - e^{-i n\frac x 4} \left( e^{i\frac x 4}+e^{-i\frac x 4} \right)^n\right]$
$= \left{\begin{tabular}{ll}2^{n-1} \left[ (\cos \frac x 4)^n \sin \frac{nx} 4+(-1)^{\frac n 2} (\sin \frac x 4)^n \sin \frac{nx} 4 \right]\hspace{20cm}n\;pair \\ 2^{n-1} \left[ (\cos \frac x 4)^n \sin \frac{nx} 4+(-1)^{\frac {n+1} 2} (\sin \frac x 4)^n \cos \frac{nx} 4 \right] \hspace{10cm}n\;impair \end{tabular}$

Posté par re : simplifier 1 expression 01-11-04 à 19:11

salut frantz,

merci pour ton aide je vais voir ce que t'as fais, je reecrirais si j'ai pas compris, merci encore!

Posté par re : simplifier 1 expression 01-11-04 à 19:22

Bon courage.

N'hésite pas à me poser des questions si tu as des points durs.

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