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Sites visités par une marche aléatoire

Posté par Profil Ramanujan 19-08-20 à 02:25

Bonsoir,

Je voulais savoir si ma réponse à la première question est correcte.


Soit d \in \N^{*}. On note 0_d le vecteur nul de \R^d.
On considère une variable aléatoire X à valeurs dans \Z^d, (X_k)_{k \in \N^{*}} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune la loi de X et définies sur un même espace probabilisé.
La suite de variables aléatoires (S_n)_{n \in \N} est définie par S_0=0_d et \forall n \in \N^{*} \ S_n=\dispalsytyle\sum_{k=1}^n X_k

On note R la variable aléatoire à valeurs dans \N^{*} \cup \{+ \infty \} définie par :

R= \begin{cases} \min \{n \in \N^{*} \ S_n=0_d \} \text{si} \ \{n \in \N^{*} \ S_n=_d \} \ne \emptyset \\ +\infty \ \text{sinon} \end{cases}

Autrement dit R est égal à + \infty si la marche aléatoire (S_n)_{n \in \N} ne revient jamais en 0_d, au premier instant auquel cette marche aléatoire revient en 0_d sinon.

Si k et n sont des entiers non nuls tels que k \leq n, montrer que :

1/ P((S_n=0_d) \cap (R=k))=P(R=k) P(S_{n-k}=0_d)

2/ En déduire que \forall n \in \N^{*} \ P(S_n=0_d)=\displaystyle\sum_{k=1}^n P(R=k) P(S_{n-k} =0_d)

Si P(R=k)=0 alors l'événement \{R=k \}  n'est pas réalisé.
Donc P((S_n=0_d) \cap (R=k))=P( \emptyset)=0=0 \times P(S_{n-k}=0_d)
L'égalité est vérifiée.

Si P(R=k) \ne 0 on a : P((S_n=0_d) \cap (R=k)) = P(R=k) P(S_n=0 | R=k)

Si l'événement \{R=k \} est réalisé alors S_k=X_1+\cdots +X_k=0_d

Donc P(S_n=0 | R=k)=P(X_{k+1}+ \cdots +X_n=0_d)

Les variables aléatoire suivent la même loi donc :

P(S_n=0 | R=k)=P(X_{1}+ \cdots +X_{n-k}=0_d)

Enfin \boxed{P((S_n=0_d) \cap (R=k))=P(R=k) P(S_{n-k}=0_d)}

Posté par
lionel52re : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 07:03

Oui ça a lair detre ca!

Posté par
Zrunre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 09:29

Bonjour ,
Tu es sur le sujet des Mines MP de cette année ?

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 12:00

Merci.
Oui mais je ne fais que quelques questions. Je ne compte pas tout faire. J'ai réussi les 5 premières questions. La 6 j'ai passé car je n'ai pas étudié un cours complet sur les séries entières. Les cours que j'ai lu sur le net je n'aime pas trop.
Je fais les quelques questions par ci par là qui m'ont l'air abordables.
Il y a certains questions à Mines qui sont bien trop difficile pour mon niveau.

Sur UPS les profs qui mettent des corrigés partent dans des solutions tordues et compliquées, j'ai laissé tombé. Ils introduisent des lemmes hors programme pour répondre aux questions.

Mieux vaut chercher par soi-même et demander de l'aide sur le forum en cas de blocage. J'essaie de trouver la 2ème partie de la question.

Posté par
Zrunre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 15:21

La difficulté de ce problème va en croissant et sans avoir vu les séries entières tu vas perdre tout l'intérêt de ce problème ....

Pour ta deuxième question , écrit l'évènement (S_n=0) comme une union faisait intervenir la variable aléatoire R et la question précédente

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 18:55

Je n'ai pas compris l'indication.
On ne peut pas simplement utiliser la formule des probabilités totales ?

La famille (R=l)_{l \in \N^{*} \cup \{+ \infty \}} est un système complet d'événement.  Ici un petit doute : pourquoi l'intersection de 2 événements est l'ensemble vide ?  

Donc :

P(S_n=0_d)= \displaystyle\sum_{l \in \N^{*} \cup \{+ \infty \}} P((S_n=0) \cap P(R=l))

Or pour l \geq n+1, on a P((S_n=0) \cap P(R=l))=0 car par exemple si (R=n+1) et que (S_n=0), comme R=\min \{ n \in \N^{*} \ S_n=0 \}, on doit avoir l \leq n car R est le minimum.

Ainsi P(S_n=0_d)= \displaystyle\sum_{l=1}^n P((S_n=0) \cap P(R=l))

Et donc  \boxed{P(S_n=0_d)= \displaystyle\sum_{l=1}^n P(R=k) P(S_{n-k})=0)}

Vous auriez fait comment ?

PS : la question 6 sur les séries entières ne me semble pas très difficile. C'est juste le \cup \{+ \infty \} qui me perturbe.

Posté par
Jezebethre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 19:02

Citation :
pourquoi l'intersection de 2 événements est l'ensemble vide ?  


ça va de soi...
Quand a-t-on (R=3) et (R=12) ?..... (indice : "l'égalité est transitive").

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 19-08-20 à 20:37

Merci.
Parfois je me complique la vie inutilement

Bon j'ai revu rapidement le cours sur les séries entières. C'est plutôt le vocabulaire des probabilités qui me pose souci.

Question 6 :
On considère les fonctions F et G définies par les formules :
\forall x \in ]-1,1[ \ F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(S_n=0_d) x^n
\forall x \in [-1,1] \ F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(R=n) x^n

Montrer que les séries définissant F et G ont un rayon de convergence supérieur ou égal à 1. Justifier que les fonctions F et G sont alors de classe C^{\infty} sur ]-1,1[
Montrer que G est définie et continue sur [-1,1] et que G(1)=P(R \ne \infty)

Les suites ( P(S_n=0_d) 1^n) et  ( P(R=n) 1^n) sont bornées donc R \geq 1 par définition.
D'après le cours, F,G sont C infinies sur ]-R,R[.
Mais comme R \geq 1 on a ]-1,1[ \subset ]-R,R[, elles sont C^{\infty} sur ]-1,1[

\forall x \in [-1,1] \ | P(R=n) x^n | \leq P(R=n)

La série \sum P(R=n) converge car somme somme infinie vaut 1, ainsi il y a convergence normale donc uniforme pour G qui est donc continue sur [-1,1].

G(1)=\sum_{n=1}^{+ \infty} P(R=n) et là je bloque.

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 20-08-20 à 11:43

Non pour G. La variable aléatoire R ne prend pas ses valeurs dans \mathbb{N}^* mais dans \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\} donc \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(R=n)+\mathbb{P}(R=+\infty)=1... C'est quand même pas un détail dans la définition de R !
Ainsi la série \sum_n \mathbb{P}(R=n) converge d'où la convergence normale donc uniforme sur le segment [-1,1] tout entier.

G(1)=1-\mathbb{P}(R=+\infty)=\mathbb{P}(R\neq+\infty)

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 20-08-20 à 22:43

Ok merci.

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 20-08-20 à 22:55

Question 8 :
Montrer que \forall x \in ]-1,1[ \ F(x)=1+F(x)G(x)
Déterminer la limite de F(x) lorsque x tend vers 1^{-}, en discutant selon la valeur de P(R \ne + \infty)



Soit x \in ]-1,1[.
F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(S_n =0_d) x^n =P(S_n =0) +\sum_{n=1}^{+\infty} P(S_n =0_d) x^n
Or P(S_n=0_d)=1 par hypothèse et d'après la question précédente :

F(x)=1+\sum_{n=0}^{+\infty}  \sum_{k=1}^n P(R=k) P(S_{n-k} =0_d)

On reconnait à droite un produit de Cauchy de 2 séries de rayon de convergence supérieur ou  égal à 1 ainsi :

\forall x \in ]-1,1[ \ F(x)=1+F(x)G(x)

Je réfléchis à la deuxième partie de la question.

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 20-08-20 à 23:28

G est continue sur [-1,1] donc : \lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}  G(x)=G(1)= P( R \ne + \infty)

On remarque que le cas G(x)=1 conduit à F(x)=1+F(x) ce qui est absurde. Donc \forall x \in ]-1,1[ \ G(x) \ne 1

On a \forall x \in ]-1,1[ \ F(x)-F(x)G(x)=1 et donc  \boxed{F(x)=\dfrac{1}{1-G(x)} }

- Si P(R \ne + \infty) =1, alors \boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}  F(x) =+ \infty}

- Si P(R \ne + \infty) \ne 1 alors  \boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}  F(x) = \dfrac{1}{1-P(R \ne + \infty) } }

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 00:02

Moui, ça semble pas mal
Pas des questions difficiles mais enfin, tu as bien justifié tout ce qu'il fallait à priori ! Rien ne t'empêche une fois que tu as fourni une réponse qui te satisfait et que moi ou un autre approuve, d'aller voir un corrigé. C'est bien là toute la nuance entre lire directement un corrigé ce qui ne t'apprend rien, et faire sa propre rédaction puis comparer avec le corrigé pour voir si c'est plus court, plus élégant, plus clair...

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 00:16

J'aime bien le chapitre "séries entières".

Oui je pense que je vais essayer de finir la partie B.  Je n'y connais rien donc je ne sais pas quelles sont les questions difficiles du problème, et à quelle partie le niveau monte.

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 02:34

Question 10 :
Montrer que la série \sum P(S_n=0_d) est divergente si et seulement si P(R \ne +\infty) \ne 1

=> Supposons que la série \sum P(S_n=0_d) est divergente. Comme on a montré que le rayon de convergence de la série \sum P(S_n =0_d) x^n est supérieur ou égal à 1, on en déduit que le rayon de convergence vaut 1.
D'après la question précédente :

F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(S_n=0_d) x^n \longrightarrow_{1^{-}} + \infty

Or \forall x \in ]-1,1[ on a G(x)=\dfrac{F(x)-1}{F(x)}=1- 1/F(x) \longrightarrow 1 = P(R \ne + \infty) = G(1)

L'inclusion est démontré.

<= Je bloque pour l'autre inclusion.

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 12:32

"= 1" ou "\neq 1" ? Tu as démontré exactement le contraire...

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 12:56

En effet, j'ai écrit une coquille. C'est :

Montrer que la série \sum P(S_n=0_d) est divergente si et seulement si P(R \ne +\infty) = 1

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 13:02

Bon, ben pas plus dur. Si \mathbb{P}(R\neq +\infty) =1, alors par ton post précédent, \lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}  F(x) =+ \infty. Or F(x)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0_d) car \mathbb{P}(S_n=0) \geq 0

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 13:19

A quoi sert le P(S_n=0) \geq 0 ?

Pour la suite, je pense que j'ai compris l'idée.
Par l'absurde, si la série \sum P(S_n =0_d) était convergente, alors la suite des sommes partielles serait bornée donc majorée.

Par passage à la limite F serait majorée, ce qui est contradictoire avec \lim_{1^{-}} F(x)=+\infty

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 13:24

Ben, ça sert pour dire que \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0) x^n \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0) pour tout x \in ]-1,1[... Tu as toi même utilisé cet argument sur l'autre forum, tu te souviens ?

Et la fin, tu fais encore trop compliqué. Je fais juste tendre x vers 1 dans l'inégalité F(x)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0_d) et par comparaison, \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0_d)=+\infty

Posté par
Alexiquere : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 13:32

Pas besoin de raisonnement par l'absurde quoi. Une série à termes positifs converge ou diverge vers +\infty donc on peut écrire \sum_{n=1}^{\infty}u_n, que cette quantité soit finie ou non puisque c'est une limite qui EXISTE et si je dis F(x) \leq \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(S_n=0), cette égalité est toujours vraie que la somme de la série soit finie ou pas !

Ce qui est formellement interdit, c'est d'écrire \sum_{n=0}^{\infty}u_n avec u_n de signe non constant tant qu'on n'a pas montré que la série converge car elle peut diverger de plein de manières (infinies ou pas).

Par exemple, \cos(x)\leq 1 mais on ne peut pas écrire \lim_{x\to+\infty}\cos(x)\leq 1, la limite n'existant pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Sites visités par une marche aléatoire 21-08-20 à 14:27

Ah d'accord merci, je n'avais pas compris ce détail.
"Une série à termes positifs converge ou diverge vers plus l'infini donc on peut écrire \sum_{n=0}^{+\infty} u_n."
Du coup, ta solution est plus rapide.

Les ennuis commencent à la question 11, qui me semble d'un niveau bien plus élevé.

Question 11 :
Pour i \in \N^{*}, soit Y_i la variable indicatrice de l'événement (S_i  \notin  \{ S_k, 0 \leq k \leq i-1 \} )
Montrer que pour tout i \in \N^{*} : P(Y_i=1)=P(R>i)
En déduire que pour tout n \in \N^{*} \ E(N_n)=1+\sum_{i=1}^n P(R>i)


On a (Y_i=1)=\bigcap_{k=0}^{i-1} (S_i \ne S_k)

J'ai écrit P(Y_i=1)=P(S_i \ne S_0,S_i \ne S_1 , \cdots S_i \ne S_{i-1} )

Donc  P(Y_i=1)=P(S_i \ne 0,S_i -S_1 \ne 0  , \cdots S_i - S_{i-1}  \ne 0)

Je bloque à ce stade.

Posté par
XZ19re : Sites visités par une marche aléatoire 22-08-20 à 18:39

Bonjour
Pour cette question 11) si on  veut calculer la probabilité de l'événement (Y_i=1)  il suffit de revenir en arrière.  

Cela revient donc  à remplacer la v.a X   par -X et qu'on  n'est pas revenu en  0  à l'instant i.  Bien entendu en remarquant que  l'évènement  (S'_i=0) = 0 est  le même que    (S_i= 0)

[où j'ai posé   S'_i=\sum_{k\leq i}  (-X_k)]

Posté par
Kernelpanicre : Sites visités par une marche aléatoire 22-08-20 à 20:47

XZ19 ne t'embête pas à proposer des astuces :

Posté par
malou Webmasterre : Sites visités par une marche aléatoire 22-08-20 à 21:08

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



et il ose dire de l'autre côté qu'il a multiposté parce que ici personne ne lui répondait...c'est vrai, ça se voit !


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