Bonjour à tous

voila mon probleme, je dois chercher les solutions dévelloppables en série entiére de l'équation différentielles:

(x²+1)y"-2y=0

j'ai donc posé y=sigma(A_n.Xⁿ) (pour n>=0)
donc y"=sigma(n(n-1)A_n.Xⁿ) (pour n>=2)

je suppose qu'on doit trouver la solution par récurrence ...

j'ai trouver la relation :
                      
A_2n+1 = [2-(2n-1)(2n-3)]/[(2n+1)*2n] * A_2n-1
et A_2n=0 (pour n>1)
ce qui me pose probleme, c'est le "moins" au numerateur!

suis-je sur la bonne voie? et si oui que dois-je faire avec cette relation?

merci pour vos réponses


ps: désolé pour le double post, j'avais pas remarqué la possibilité d'utiliser les indices et exposants

Bonsoir.

C'est vrai que les calculs des coefficients sont toujours redoutables !

Je te donne mes résultats :










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Tu remarques que le cas général correspond bien aux premiers indices

Ensuite, on examine séparément les cas n pair et n impair. Le cas n pair est simple : tous les termes nuls à partir de a₄ (compris) et a₀ = ₂ quelconques.

Pour le rang impair, on écrit les égalités en colonne :



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puis on multiplie membre à membre.

Je trouve :



A plus RR.

Désolé : deux erreurs de frappe

1°) tous les termes de rang pair sont nuls à partir de a₄ (compris), a₀ = a₂ arbitraire.

2°)

merci pour ton aide,

mais est tu d'accord avec ma relation de recurrence?
         [2-(2n-1)(2n-3)]
A2n+1 = ------------------* A2n-1
           [(2n+1)*2n]
je trouve les meme 1er coefficients que toi, comment passe tu de ma relation à la tienne?

Bonjour.

Je trouve :

(2n-1)(2n-2).a_2n-1 + (2n+1)2n.a_2p+1 - 2.a_2n-1 = 0

A plus RR.

oui je trouve pareil jusque la,

mais ca me donne pas :

a_2p+1=-(2p-3)/(2p+1) *a_2p-1

mais plutot :

             [2-(2n-1)(2n-3)]
A2n+1 =  ---------------------   * A2n-1
             [(2n+1)*2n]


et ce qui me gene, c'est la différence au numérateur ... si je remplace a_2n-1par son expression, jusqu'à a₁, l'expression obtenue est horriblement compliquée ... elle ne se simplifie pas

heu désolé, j'ai fais une erreur, il fallait lire (2n-2) au numérateur et non (2n-3)


              [2-(2n-1)(2n-2)]
A_2n+1 =  ---------------------   * A_2n-1
               [(2n+1)*2n]

ok j'ai trouvé,il fallait simplement factoriser 2-n(n-1)=-(n+1)(n-2)

... en fait !!! :(

je suis vraiment pas bon sur ce coup

désolé pour le dérangement

et encore merci

juste une petite derniére, et apres je t'embete plus

tout calcul fait, je trouve un (-1)^p et non (-1)^(p+1) au niveau de l'expression général de A_2p+1

Oops dsl oublie j'ai dit n'importe quoi ... bon j'arrete mon monologue, et encore merci

Je renouvelle mon qualificatif de "redoutable" !

Ces calculs de coefficients sont terribles. Personnellemnt, je calcule plusieurs termes au début (ne serait-ce que pour détecter d'éventuels coefficients n'entrant pas dans le moule) et ensuite, je teste ma formule générale avec ces premiers termes. Bien souvent, pour de stupides erreurs de rang, il faut corriger cette formule générale pour l'adapter aux premies calculs.
Je t'ai donné ma solution après l'avoir testée et modifiée.

A plus RR.

bonjour, je reviens à la charge

voila aprés nous avoir donner les conditions initiales f(0)=0 et f'(0)=1
où f est la somme de la série entiére solution, il propose de calculer (f'(x)-1)/x et d'en déduire f(x)

je trouve f(x)=-[(x²+1)Arctan(x)-x+x²]

probleme, quand je vérifie ma solution avec l'équa diff (cf début du topic),

je retombe pas sur 0 mais sur -2x-1 ???

j'ai refait moulte fois les calculs, mais je trouve pas mon erreur

si quelqu'un peux m'aider  ... merci