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Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre

Posté par
Mayssam 16-06-18 à 21:59

Bonjour !

On considère l'équation différentielle
y'' + \frac{2}x{}y' -\mu ^{2}y=0
où y(x) est une fonction de la variable réelle x  à valeurs complexes et mu un nombre réel strictement positif.

Déterminer la solution générale de l'équation différentielle puis en déduire une solution régulière en x=0

J'ai appliqué la méthode Fuchs et je trouve

y(x) =x^{r} (\lambda e^{r1x}+\mu e^{r2x})
avec r1 et r2 racines de l'équation caractéristiques
Est-ce juste? Comment déterminer la solution régulière?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 16-06-18 à 22:03

salut

pour vérifier une éventuelle solution on remplace l'inconnue par cette éventuelle solution et on vérifie que/si ça marche

donc :

y(x) = ...
y'(x) = ...
y"(x) = ...

et on remplace dans le premier membre ...

Posté par
lafol Moderateurre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 16-06-18 à 22:15

Bonjour
quelle équation caractéristique
ce n'est pas une équation à coeffs constants ....
et que représentent r et lambda dans ta "solution" ?

Posté par
Mayssamre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 16-06-18 à 22:29

(1) L'équation donnée au dessus
Méthode de Fuchs

x0 = 0  est un point singulier non essentiel
En appliquant la méthode fuchs étape par étape j'aboutie à
X^{2}f''+2Xf'-X^{2}\mu ^{2}f=0

Arrivée à cette étape je dois résoudre l'équation différentielle en f
C'est dans cette étape que je bloque

Posté par
lafol Moderateurre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 16-06-18 à 22:32

qu'appelles-tu méthode de Fuchs ? pour mon moteur de recherche préféré, c'est une méthode de guitare ....

Posté par
luzakre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 17-06-18 à 09:43

Bonjour lafol !
Il semblerait que ce soit aussi la méthode de Frobenius qui s'appuie sur un "théorème de Fuchs".
Lue en diagonale, cela consiste à trouver une série entière solution...

@Mayssam : tu es sûr de ne pas avoir multiplié une fois de trop par X ?

Posté par
Mayssamre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 17-06-18 à 12:09

Bonjour,

Oui, c'est bien la la méthode de Frobenius.

J'ai repris mon calcul et voici ce que j'obtiens
(f'' - \mu ^{2}f)X +2f' = 0

L'étape 4 de la méthode dit : On essaie de résoudre l'équation différentielle en f par des méthodes classiques. Si les méthodes traditionelles ne permettent pas d'obtenir aisément la solution pour f, on cherche une solution de l'équation en f sous la forme de
f(x) = \sum{ai(x-x0)^{i}}

Ici x0 =0, qui est un point singulier non essentiel
Ainsi

y(x) =\sum_{i=0}^{infini}{a_{i}x^{i}}
y'(x)= \sum_{i=1}^{infini}{ia_{i}x^{i-1}}
y''(x) = \sum_{i=2}^{inifini}{i(i-1)a_{i}x^{i-2}}

On injecte dans y'' + \frac{2}{x}y' - \mu ^{2}y =0 (1)
On obtient
\sum_{i=0}^{infini}{(i+2)(i+1)a_{i+2}x^{i}}+\frac{2}x{a_{1}}+2\sum_{i=0}^{infini}{(i+2)a_{i+2}x^{i}}-\mu ^{2}\sum_{i=0}^{infini}{a_{i}x^{i}} =0

Finalement
(i+2)(i+1)a_{i+2}+2(i+2)a_{i+2}-\mu^{2}a_{i}=0

Ainsi a_{i+2 =\frac{\mu ^{2}a_{i}}{(i+2)(i+3)}}

comme a1 =0, la relation montre que seuls les termes de degrés pairs existent dans y, c'est à dire que y =\sum_{p=0}^{infini}{a_{2p}x^{2p}}

Ainsi
y(x) = y = a0\sum_{p=0}^{infini}{(-1)^{p}\frac{\mu ^{2}x^{2p}}{2^{2p}(p!)^{2}}}

où a0 est une constante arbitraire. Nous avons ainsi trouvé une solution particulière de (1).
La méthode indique qu'il faut ensuite trouver une autre solution particulière, linéairement indépendante de la précédente, pour avoir une solution générale de l'équation différentielle (1)

Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider à résoudre cette équation

Posté par
Razesre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 17-06-18 à 12:57

Bonjour,

@Mayssam, je pense qu'il y'a des erreurs de calcul.

(i+2)(i+1)a_{i+2}+2(i+2)a_{i+2}-\mu^{2}a_{i}=0 \Leftrightarrow (i+2)(i+3)a_{i+2} =\mu^{2}a_{i};

Multiplions les deux membres par (i+1)!; nous obtenons:  
(i+2)(i+3)(i+1)!a_{i+2}=\mu^{2}(i+1)!a_{i}\Leftrightarrow (i+3)!a_{i+2}=\mu^{2}(i+1)!a_{i}

Posons: U_i=(i+1)!a_{i}; ainsi: U_{i+2}=(i+3)!a_{i+2}, d'où la relation: U_{i+2}=\mu^{2}U_i, ce qui te permet de déterminer facilement U_i et par suite a_{i}, tu obtiendras un résultat plus sympathique qui t'aideras pour la suite.

Posté par
luzakre : Solution d'une équation différentielle du deuxième ordre 17-06-18 à 13:33

@Mayssam
Quand tu auras une solution explicite non nulle (possible en suivant les indications de Razes), disons u, le changement y=zu conduit à une équation linéaire d'ordre 1 pour la fonction z'.
E principe tu peux donc t'en sortir à l'aide de deux calculs de primitives.


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