c'est pas plutot une fonction de x qu'il faut trouver du genre y(x)

Hum pas forcément.. Et puis si ce n'est que ça, à partir de ce que j'ai écris on peut toujours isoler y et écrire y = .. .

une idée en posant e^y = U

U' = y'.e^y = y'.U   l'équation 2e^y.y' -xy' = 1  devient : 2.U.U'/U - x.U'/U = 1

soit 2U'-xU'/U = 1   soit aussi 2U'/U = 1/(1-x)  ( en separant les variables )


à verifier

.....puis il suffit ensuite d'integrer membre à membre

Ok merci pour l'idée. A priori on n'arrive pas au même résultat, j'ai essayé de faire ton calcul rapidement, si quelqu'un peut trancher..

Merci !

Je ne vois pas comment  flight arrive à 2U'/U = 1/(1-x) . C'est un un plus compliqué.
On remarque que si (J,y) est une solution de ton ED , y ' ne s'annule pas .
On va chercher les  solutions  C1 (J,y) de l' ED . Pour celles-ci y ' garde un signe constant .


1. Soit J un intervalle ouvert non vide et y : J dérivable telle que pour tout x de J on ait : (2e^y(x) - x)y '(x) = 1 et  y '(x) > 0  .
y est alors strictement croissante de J sur K := y(J) qui est est  un intervalle ouvert non vide . Soit z = y^-1 : K J .
z est aussi dérivable  et pour tout x de J on a : z(y(x)) = x donc z'(y(x))y'(x) = 1 = (2e^y(x) - x)y'(x) et aussi  z'(y(x)) =  2e^y(x) - x .
Il en résulte que pour tout t K on a : z'(t) = 2e^t - z(t) . L'application t z(t)e^t  - e^2t est donc constante . Il existe donc un réel c tel que z : t e^t + c. e^-t et y = z^-1 . Comme z' est toujours > 0 on a : e^2t > c pour tout t K . Donc c 0 ou si c > 0 , K ]ln(c/2) , +[ .

2.
Inversement soient c , K_c un intervalle ouvert non vide qui , si c > 0 , est contenu dans   ]ln(c/2) , +[  et g_c : t e^t + c.e^-t de K_c vers .
g_c est de classe C et c'est aussi une bijection croissante de K_c sur un intervalle ouvert J_c .
L'application inverse f_c : J_c est dérivable et vérifie x J_c  , (2exp(f_c(x)) - x)f_c'(x) = 1 ( à vérifier quand même ).
Remarque : (₊*,ln) (correspondant à c = 0 ) est une solution (maximale)  

Il te reste à faire la recherche des solutions (J,y)telles que  y '(x) < 0 pour tout x de J .

_{Sauf erreur}
  

Tout d'abord :  il faut remplacer ln(c)/2 par  ln(c/2)  .
su
Ensuite j'espère que tu as montrer  que z^-1(x) = ln( x + (x² - 4c)^1/2 - ln(2) pour x  > 2c  (lorsque c 0)

A la manière du pysicien, si vous préférez :

Il y a une petite erreur de signe devant C.
Mais cela ne change rien puisque C est une constante arbitraire.

Merci bien .