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Niveau maths sup
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Solution particulière

Posté par
Ramanujan
17-05-19 à 01:42

Bonsoir,

Je bloque sur l'exercice suivant :

Résoudre dans  \R : y''+y = \sin^3(x)

Je n'arrive pas à déterminer une solution particulière. Je n'ai pas compris le corrigé de mon livre.

J'ai linéarisé \sin^3(x) = - \dfrac{1}{4} \sin(3x) + \dfrac{3}{4} \sin(x) mais après je ne vois pas comment utiliser le résultat de mon cours suivant :

Soit \lambda \in \K. L'équation différentielle y''+ay'+by=e^{\lambda x} possède une solution particulière de la forme :
x \mapsto C e^{\lambda x} si \lambda n'est pas racine de l'équation caractéristique r^2+ar+b=0

Posté par
CodyAmanite
re : Solution particulière 17-05-19 à 04:59

Salut.

Dans le cas où une équa diff linéaire vérifie une fonction trigonométrique à une puissance k, dis toi qu'une solution particulière peut s'écrire:
y = A0*(cos(x))^k + A1*(cos(x))^(k-1)*sin(x) + ... + Ak*(sin(x))^k
Dans ce cas-ci, k = 3, donc 4 termes.
Tu dérives l'expression 2 fois en séparant bien comme dans la première.
Tu te retrouveras avec 4 équations à 4 inconnues (A0, A1, A2, A3).
Tu trouves normalement:
y = (2/3)sin(x)(cos(x))² + (7/9)(sin(x))³

Posté par
luzak
re : Solution particulière 17-05-19 à 08:48

Bonjour !
@CodyAmanite
Il a raison de vouloir utiliser son cours !
D'autant que ton indication ne peut marcher puisque les fonctions "sinus, cosinus" sont solution de l'équation homogène...

@Ramanujan
Tu as deux seconds membres à traiter.

Pour \dfrac{-\sin(3x)}4 tu as les exponentielles \mathrm{e}^{3\mathrm{i}x},\;\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}

Si \pm3\mathrm{i} n'est pas racine de l'équation caractéristique tu cherches une solution de la forme \mathrm{e}^{\pm3\mathrm{i}x}.
Ou, ce qui revient au même, une combinaison linéaire de \cos(3x),\;\sin(3x)

Pour l'autre second membre \dfrac{3\sin x}4=\dfrac{3(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{\mathrm{-i}x})}{8\mathrm{i}}  comme \pm\mathrm{i} est racine simple de l'équation caractéristique tu dois chercher des solutions de la forme x\mapsto x\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}x}.

La citation "résultat de mon cours" est incomplète : il doit y avoir une indication quand \lambda est racine de l'équation caractéristique.

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 17-05-19 à 08:53

Ça a l'air compliqué votre méthode.

Mon livre donne une méthode différente que je ne comprends pas. L'auteur dit qu'en utilisant la propriété en vert, comme \pm 3i n'est pas racine de l'équation caractéristique, on peut chercher f_1 comme combinaison linéaire des fonctions x \mapsto e^{3ix} et x \mapsto e^{-3ix} c'est-à-dire sous la forme x \mapsto a \cos(3x)+b \sin(3x)

Je ne comprends rien à ce passage

J'ai une équation sous la forme :

y''+y=-  \dfrac{1}{8i} (e^{3ix}-{e^{-3ix})+\dfrac{3}{4i} (e^{ix}-{e^{-ix})

Après je bloque.

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 17-05-19 à 09:04

Je ne comprends pas pourquoi une combinaison linéaire de e^{ix} et e^{-ix} donc une combinaison linéaire de  \cos(x) et de \sin(x)

Posté par
Zrun
re : Solution particulière 17-05-19 à 10:28

Les formules d'Euler ça te dit quelque chose ?

Posté par
luzak
re : Solution particulière 17-05-19 à 10:34

Citation :
Je ne comprends pas pourquoi une combinaison linéaire de e^{ix} et e^{-ix} donc une combinaison linéaire de  \cos(x) et de \sin(x)

J'avoue que là tu atteins des sommets !
Retour aux classes antérieures ...

........................................
Je te répète que tu as DEUX équations différentielles :
y''+y=-  \dfrac{1}{8i} (e^{3ix}-{e^{-3ix}) et y''+y=\dfrac{3}{4i} (e^{ix}-{e^{-ix})

Tu dois les résoudre séparément et ensuite ajouter les solutions particulières trouvées : ton livre met la charrue avant les bœufs. Il aurait dû insister sur les propriétés de linéarité de ces équations AVANT de proposer ce que tu as lu. J'ai bien essayé de te mener vers ces remarques (espace vectoriel, base, etc...) mais dans ta grande sagesse tu as refusé, et voilà le résultat.

Pour la première équation \pm3\mathrm{i} n'est pas recine de l'équation caractéristique et tu peux faire ce que dit LE livre.

Pour la deuxième équation les complexes \pm\mathrm{i} sont racines de l'équation caractéristique et il faut une indication de plus (à mon avis cela doit être dans TON livre mais tu ne l'as pas lu correctement). Je te l'ai donnée mais, comme d'habitude, "c'est compliqué" .  Alors, attends que le résultat te tombe du ciel !

Posté par
malou Webmaster
re : Solution particulière 17-05-19 à 10:41

Ramanujan @ 17-05-2019 à 09:04

Je ne comprends pas pourquoi une combinaison linéaire de e^{ix} et e^{-ix} donc une combinaison linéaire de  \cos(x) et de \sin(x)


Ramanujan, tu n'as pas dormi de la nuit pour écrire une chose pareille...quel est cet acharnement à faire des maths à toute heure ?

Posté par
CodyAmanite
re : Solution particulière 17-05-19 à 13:04

--> luzak
Oui après je me suis contenté de donner une solution particulière ici.

***citation inutile supprimée***

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 17-05-19 à 14:07

@Lafol

\alpha e^{3ix} + \beta e^{-3ix} = \alpha \cos(3x) + i \alpha \sin(3x) + \beta \cos(3x) - i \beta \sin(3x) = (\alpha + \beta) \cos (3x) + i(\alpha- \beta) \sin(3x)  
Ainsi si on pose : a=\alpha + \beta et b= i(\alpha- \beta) on a bien : \alpha e^{3ix} + \beta e^{-3ix} = a \cos(3x) + b \sin(3x)

@Luzak
J'ai aussi le résultat suivant dans mon cours :
Soit \lambda \in \K. L'équation différentielle y''+ay'+by=e^{\lambda x} possède une solution particulière de la forme :
x \mapsto Cx e^{\lambda x} si \lambda est racine simple de r^2+ar+b=0


Pour la première : y''+y=-  \dfrac{1}{4} \sin(3x)
Posons : y_1(x)= a \cos(3x) + b \sin(3x) , y_1 '(x) = - 3a \sin(3x) + 3b \cos(3x)
Donc : y_1 ''(x) =  9a \cos(3x) - 9b \sin(3x)
Je trouve : y_1(x)= \dfrac{\sin(3x)}{32}

Pour la deuxième : y''+y= \dfrac{3}{4} \sin(x)
i est racine simple de r^2+1=0. Donc une solution particulière de cette deuxième équation est sous la forme : C_1 xe^{ix} + C_2 xe^{-ix} = x (C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix})
On peut poser : y_2 (x) = c x \cos(x) + d x \sin(x)

Soit y_2 (x) = - \dfrac{3}{8} x \cos(x)

Une solution particulière est, d'après le théorème de superposition :

y_p(x) = y_1(x)+y_2(x) =  \dfrac{\sin(3x)}{32} -  \dfrac{3}{8} x \cos(x)

Par contre, pour la solution homogène j'ai un doute car j'ai 2 théorèmes dans mon cours, mais comment résoudre dans \K en général ?

On considère l'équation différentielle y''+ay'+by=0 Une solution f de (E_0) est une fonction d'un intervalle I de \R à valeur dans \K
1/ Cas où \K = \C
Si l'équation caractéristique r^2+ar+b=0 a deux racines distinces r_1 et r_2 alors les solutions de (E_0) sont les fonctions : x \mapsto \lambda_1 e^{r_1 x} + \lambda_2 e^{r_2 x} avec ( \lambda_1 , \lambda_2) \in \C^2

2/ Cas où \K = \R
Si l'équation caractéristique r^2+ar+b=0 a deux racines complexes conjuguées non réelles \alpha \pm i \beta alors les solutions de (E_0) sont les fonctions : x \mapsto \lambda_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + \lambda_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) avec ( \lambda_1 , \lambda_2) \in \R^2

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 17-05-19 à 16:37

La solution homogène donnée dans mon livre est :  \R \longrightarrow \K \\ x \mapsto \lambda_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + \lambda_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)

Je n'ai pas trop compris pourquoi pour résoudre dans \K on prend les solutions sur \R en mettant des \lambda dans \K....

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 17-05-19 à 16:38

Avec (\lambda_1 , \lambda_2) \in \K^2

Posté par
luzak
re : Solution particulière 17-05-19 à 16:58

Prendre des coefficients dans \K pour résoudre dans ce même corps me paraît être du grand bon sens, mais tu peux avoir envie de fantaisie !

Sérieusement : tu as des solutions à valeurs réelles u,v qui sont indépendantes. Ce sont AUSSI des solutions indépendantes à valeurs dans \K. L'espace des solutions étant de dimension 2 sur \K, l'espace des solutions sur \K est l'espace \K u\oplus\K v, que K soit le corps des réels ou celui des complexes.

Le plus embêtant c'est d'avoir des solutions indépendantes complexes conjuguées u,v et de vouloir résoudre dans \R : tu peux montrer que \Re(u),\;\Im(u) sont des solutions réelles indépendantes et tu as une base, sur \R, pour les solutions réelles.

Posté par
Ramanujan
re : Solution particulière 18-05-19 à 11:10

D'accord merci !

Je peux aussi donner les solutions en utilisant la proposition numéro 2 :

\R \longrightarrow \K \\ x \mapsto \lambda_1 e^{i x} + \lambda_2 e^{-i x}

Posté par
luzak
re : Solution particulière 18-05-19 à 12:23

Quelle découverte : on peut changer de bases dans un espace vectoriel !

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