Salut.

Dans le cas où une équa diff linéaire vérifie une fonction trigonométrique à une puissance k, dis toi qu'une solution particulière peut s'écrire:
y = A0*(cos(x))^k + A1*(cos(x))^(k-1)*sin(x) + ... + Ak*(sin(x))^k
Dans ce cas-ci, k = 3, donc 4 termes.
Tu dérives l'expression 2 fois en séparant bien comme dans la première.
Tu te retrouveras avec 4 équations à 4 inconnues (A0, A1, A2, A3).
Tu trouves normalement:
y = (2/3)sin(x)(cos(x))² + (7/9)(sin(x))³

Bonjour !
@CodyAmanite
Il a raison de vouloir utiliser son cours !
D'autant que ton indication ne peut marcher puisque les fonctions "sinus, cosinus" sont solution de l'équation homogène...

@Ramanujan
Tu as deux seconds membres à traiter.

Pour tu as les exponentielles

Si n'est pas racine de l'équation caractéristique tu cherches une solution de la forme .
Ou, ce qui revient au même, une combinaison linéaire de

Pour l'autre second membre   comme est racine simple de l'équation caractéristique tu dois chercher des solutions de la forme .

La citation "résultat de mon cours" est incomplète : il doit y avoir une indication quand est racine de l'équation caractéristique.

Ça a l'air compliqué votre méthode.

Mon livre donne une méthode différente que je ne comprends pas. L'auteur dit qu'en utilisant la propriété en vert, comme n'est pas racine de l'équation caractéristique, on peut chercher comme combinaison linéaire des fonctions et c'est-à-dire sous la forme

Je ne comprends rien à ce passage

J'ai une équation sous la forme :



Après je bloque.

Je ne comprends pas pourquoi une combinaison linéaire de et donc une combinaison linéaire de et de

Les formules d'Euler ça te dit quelque chose ?

--> luzak
Oui après je me suis contenté de donner une solution particulière ici.

***citation inutile supprimée***

@Lafol


Ainsi si on pose : et on a bien :

@Luzak
J'ai aussi le résultat suivant dans mon cours :
Soit . L'équation différentielle possède une solution particulière de la forme :
si est racine simple de

Pour la première :
Posons : ,
Donc :
Je trouve :

Pour la deuxième :
est racine simple de . Donc une solution particulière de cette deuxième équation est sous la forme :
On peut poser :

Soit

Une solution particulière est, d'après le théorème de superposition :



Par contre, pour la solution homogène j'ai un doute car j'ai 2 théorèmes dans mon cours, mais comment résoudre dans en général ?

On considère l'équation différentielle Une solution de est une fonction d'un intervalle de à valeur dans
1/ Cas où
Si l'équation caractéristique a deux racines distinces et alors les solutions de sont les fonctions : avec

2/ Cas où
Si l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées non réelles alors les solutions de sont les fonctions : avec

La solution homogène donnée dans mon livre est :  

Je n'ai pas trop compris pourquoi pour résoudre dans on prend les solutions sur en mettant des dans ....

Avec

Prendre des coefficients dans pour résoudre dans ce même corps me paraît être du grand bon sens, mais tu peux avoir envie de fantaisie !

Sérieusement : tu as des solutions à valeurs réelles qui sont indépendantes. Ce sont AUSSI des solutions indépendantes à valeurs dans . L'espace des solutions étant de dimension 2 sur , l'espace des solutions sur est l'espace , que soit le corps des réels ou celui des complexes.

Le plus embêtant c'est d'avoir des solutions indépendantes complexes conjuguées et de vouloir résoudre dans : tu peux montrer que sont des solutions réelles indépendantes et tu as une base, sur , pour les solutions réelles.

D'accord merci !

Je peux aussi donner les solutions en utilisant la proposition numéro 2 :

Quelle découverte : on peut changer de bases dans un espace vectoriel !