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Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd ordre

Posté par
Mercibcpp 31-12-24 à 19:43

Bonsoir,
J'ai un problème avec mon exercice dont l'énoncé est:
Donner une solution particulière à valeurs réelles de l'équation différentielle suivante, y"+y'+y=8(e^t)(sin(t))^3
j'ai trouvé e^{t}(\frac{-16}{39}sin(3t)-\frac{8}{13}cos(3t))

le problème c'est que quand je l'injecte dans mon équation différentielles je ne retrouve pas l'expression précédentes.
Je ne sais donc pas si le problème vient de la solution où lorsque je vérifie qu'elle donne bien 8e^{t}sin^{3}(t)
Merci pour l'attention portée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 31-12-24 à 22:46

Bonsoir,
Je pense que ta solution particulière n'est pas bonne.
Quelle méthode as-tu utilisée pour la trouver ?

Je ne reviendrai pas avant demain.
Bonne année 2025

Posté par
Mercibcppre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 01-01-25 à 15:05

Bonjour, tout d'abord merci d'avoir répondu et bonne année.
En ce qui concerne ma méthode j'ai commencé par "complexifiée" l'équation différentielle,  c'est-à-dire que j'ai posé y"+y'+y=8e^{t(3i+1)} puis j'ai cherché une solution de la forme f: R-->C
                   t I---> \omega e^{t(3i+1)}
puis j'ai pris la partie imaginaire de la solution trouvée c'est-à-dire en prenant la partie imaginaire de (\frac{-16}{39}-\frac{8i}{13})e^{t(3i+1)}
ce qui me donne e^{t}(\frac{-16}{39}sin(3t)-\frac{8}{13}cos(3t))

Posté par
GBZMre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 01-01-25 à 17:43

Bonjour et bonne année,
J'ai l'impression que tu as confondu \sin(t)^3 avec \sin(3t)

Posté par
Mercibcppre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 01-01-25 à 18:08

Bonjour merci pour votre réponse.
Mon problème est donc dans l'équation "complexifiée"?
Si c'est le cas est-ce que 2e^{t/3}e^{it} est juste?
Parce que je ne suis pas trop sûr de l'utilisation de la racine troisième avec une partie imaginaire

Posté par
GBZMre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 01-01-25 à 18:55

Non, ça ne va pas du tout.
Linéariser \sin(t)^3, ça ne te dit rien ?

Posté par
Mercibcppre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 01-01-25 à 20:35

Bonjour, effectivement ça marche mieux quand je linéarise, je trouve -\frac{1}{4}sin(3t)+\frac{3}{4}sin(t), donc pour retrouver mon équation différentielle complexifiée je peux écrire que y''+y'+y=8e^{t}(-\frac{1}{4}e^{3ti}+\frac{3}{4}e^{ti}) ?

Posté par
GBZMre : Solution particulière d'une équation différentielle du 2nd 02-01-25 à 10:35

Tu peux utiliser le principe de superposition, et alors tu as à chercher une solution particulière pour deux équadiffs à second membre exponentiel-trigonométrique.


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