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Niveau terminale
Solution Polynôme Terminale S
Posté par sarah3859
Bonjour,
Voici l'énoncé:
Pour tout nombre entier n>=1, on note Pn le polynôme défini par Pn (x)= x^(n+1) - 2x^(n) +1. Démontrer que l'équation Pn (x)=0 admet 1 solution comprise entre (2n)/(n+1) et 2.
Je me suis orientée vers une piste:
-J'ai fait la dérivée de la fonction. J'obtiens F'(x)= nx^(n) + x^(n) - 2nx^(n-1).
J'ai essayé de factorier et j'obtiens soit F'(x) =(x^n) (n+1-2nx^(-1)) ou F'(x) = (x^n-1)(nx+x-2n).
Par x^n-1, lorsque je fais f'(x)=0 , je fais la règle d'un des facteurs nuls et pour la 2nde parenthèse je trouve (2n)/(n+1), comme au début.
Cependant il faut que je trouve encore le 2 et la valeur positive de la fonction dérivée pour déduire la stricte croissance et la continuité de la fonction pour ainsi tracer mon tableau variation et répondre au probleme.
Mon raisonnement est-il juste?
Pouvez vous m'aider à chercher la suite s'il vous plait.
Merci par avance
Bonjour,
Intuitivement, j'aurais envie de montrer que Pn((2n)/(n+1)) et Pn(2) sont de signes opposés...
barbubabytoman @ 19-12-2016 à 16:05
Si tu prends
, quel est le signe de )
?
Si tu prends
F'(x) est positif si x\geq\frac{2n}{n+1}. Mais comment puis je le prouver? En inserant frac{2n}{n+1} dans f'(x)?
lake @ 19-12-2016 à 16:06
Bonjour,
=(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{2n}{n+1}\right))
Sur
, \geq 0)
et 
est strictement croissante.
et
Bonjour,
Sur
et
Ah d'accord je viens de comprendre. Je cherche les variations de P'_n(x)=(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{2n}{n+1}\right), ainsi je fais un tableau de variation. Et dans l'intervalle recherché, je trouve strictement croissant ou décroissant.
Merci beaucoup Lake
En revanche comment trouve-t-on le 1 dans P_n(1)=0.
Citation :
Mais d'ou sort ce 1?
Mais d'ou sort ce 1?
pas de l' énoncé, je le reconnais; mais il faut aussi être un tout petit peu inventif en vue de déterminer le signe de
Citation :
J'obtiens 2-2^n
J'obtiens 2-2^n
Ah ben non, pas du tout.
Si tu as réalisé un tableau de variation, tu places
Tu dois constater que
Oui, excusez moi, je me suis trompé dans le calcul au niveau de la puissance.
C'est exact j'ai trouvé cela. J'ai reussi à conclure mon problème.
Est-on obligé de faire la limite de Pn (2n/n+1) pour le tableau de variation?
Merci beaucoup Lake 😊
Citation :
Est-on obligé de faire la limite de Pn (2n/n+1) pour le tableau de variation?
Est-on obligé de faire la limite de Pn (2n/n+1) pour le tableau de variation?
Quelle drôle d' idée! Et pourquoi donc ? Et quand
En un mot comme en cent: non