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Niveau terminale
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Solution Polynôme Terminale S

Posté par
sarah3859
19-12-16 à 15:54

Bonjour,

Voici l'énoncé:
Pour tout nombre entier n>=1, on note Pn le polynôme défini par Pn (x)= x^(n+1) - 2x^(n) +1. Démontrer que l'équation Pn (x)=0 admet 1 solution comprise entre (2n)/(n+1) et 2.

Je me suis orientée vers une piste:
-J'ai fait la dérivée de la fonction. J'obtiens F'(x)= nx^(n) + x^(n) - 2nx^(n-1).
J'ai essayé de factorier et j'obtiens  soit F'(x) =(x^n) (n+1-2nx^(-1))  ou F'(x) = (x^n-1)(nx+x-2n).
Par x^n-1, lorsque je fais f'(x)=0 , je fais la règle d'un des facteurs nuls et pour la 2nde parenthèse je trouve (2n)/(n+1), comme au début.
Cependant il faut que je trouve encore le 2 et la valeur positive de la fonction dérivée  pour déduire la stricte croissance et la continuité de la fonction pour ainsi tracer mon tableau variation et répondre au probleme.

Mon raisonnement est-il juste?
Pouvez vous m'aider à chercher la suite s'il vous plait.
Merci par avance

Posté par
barbubabytoman
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 16:05

Si tu prends x\geq\frac{2n}{n+1}, quel est le signe de F'(x) ?

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 16:06

Bonjour,

P'_n(x)=(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{2n}{n+1}\right)

Sur [\dfrac{2n}{n+1},+\infty[,  P'_n(x)\geq 0 et  P_n est strictement croissante.

et 2\geq\dfrac{2n}{n+1}

Posté par
sanantonio312
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 16:08

Bonjour,
Intuitivement, j'aurais envie de montrer que Pn((2n)/(n+1)) et Pn(2) sont de signes opposés...

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 16:39

Pour la suite:

P_n est strictement décroissante sur \left[0;\dfrac{2n}{n+1}\right] et strictement croissante sur \left[\dfrac{2n}{n+1};+\infty\right[

Remarque que P_n(1)=0 donc P_n\left(\dfrac{2n}{n+1}\right)<0

et P_n(2)=1

Posté par
sarah3859
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 17:51

barbubabytoman @ 19-12-2016 à 16:05

Si tu prends x\geq\frac{2n}{n+1}, quel est le signe de F'(x) ?

F'(x) est positif si x\geq\frac{2n}{n+1}. Mais comment puis je le prouver? En inserant frac{2n}{n+1} dans f'(x)?

lake @ 19-12-2016 à 16:06

Bonjour,

P'_n(x)=(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{2n}{n+1}\right)

Sur [\dfrac{2n}{n+1},+\infty[,  P'_n(x)\geq 0 et  P_n est strictement croissante.

et 2\geq\dfrac{2n}{n+1}



Ah d'accord je viens de comprendre. Je cherche les variations de P'_n(x)=(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{2n}{n+1}\right), ainsi je fais un tableau de variation. Et dans l'intervalle recherché, je trouve strictement croissant ou décroissant.
Merci beaucoup Lake
En revanche comment trouve-t-on le 1 dans P_n(1)=0.

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 17:56

P_n(x)=x^{n+1}-2x^n+1 (c' est l' énoncé)

Calcule P_n(1)

Posté par
sarah3859
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:02

lake @ 19-12-2016 à 17:56

P_n(x)=x^{n+1}-2x^n+1 (c' est l' énoncé)

Calcule P_n(1)


J'obtiens 2-2^n
Mais d'ou sort ce 1?

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:35

Citation :
Mais d'ou sort ce 1?


pas de l' énoncé, je le reconnais; mais il faut aussi être un tout petit peu inventif en vue de déterminer le signe de P_n\left(\dfrac{2n}{n+1}\right)  !

Citation :
J'obtiens 2-2^n


Ah ben non, pas du tout. P_n(1)=0:

1^{n+1}-2\times 1^n+1=1-2+1=0

Si tu as réalisé un tableau de variation, tu places 1 dans les valeurs de x et P_n(1)=0 dans les valeurs de P_n

Tu dois constater que P_n\left(\dfrac{2n}{n+1}\right) est strictement négatif.

Posté par
sarah3859
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:47

Oui, excusez moi, je me suis trompé dans le calcul au niveau de la puissance.
C'est exact j'ai trouvé cela. J'ai reussi à conclure mon problème.
Est-on obligé de faire la limite de Pn (2n/n+1) pour le tableau de variation?
Merci beaucoup Lake 😊

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:51

Citation :
Est-on obligé de faire la limite de Pn (2n/n+1) pour le tableau de variation?


Quelle drôle d' idée! Et pourquoi donc ? Et quand n tendrait vers quoi ?

En un mot comme en cent: non

Posté par
sarah3859
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:54

D'accord.
Merci beaucoup 😊

Posté par
lake
re : Solution Polynôme Terminale S 19-12-16 à 18:55

De rien pour moi sarah3859



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