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Niveau Maths sup
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somme

Posté par
lou1100
07-10-23 à 21:17

Bonsoir,
Je dois faire cet exercice, je ne sais pas comment commencer:

On sait que pour tout entier n *, \sum_{}^{}{^n_k_=_1 k^3} = (\sum_{}^{}{^n_k_=_1 k})^2

Inversement, soit (x_k)k* une suite d'élément de *+. On suppose que pour tout entier n *,

\sum_{k=1}^{n}{x^3_k}=(\sum_{k=1}^{n}{x_k})^2

Montrer que pour tout k * ,x_k = k


Je sais qu'on peut montrer par récurrence que la somme des k^3 = à la somme des k au carré (k)^2

Peut-être creuser cette piste ? Je ne sais pas

Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 07-10-23 à 22:42

Bonsoir,
Tu n'as pas à creuser cette piste car l'égalité est donnée après "on sait que" dans l'énoncé.

Par contre écrire les égalités obtenues en remplaçant n par 1 puis par 2 dans \sum_{k=1}^{n}{x^3_k}=(\sum_{k=1}^{n}{x_k})^2 peut donner des idées.
Je ne reviendrai que demain matin.

Posté par
carpediem
re : somme 08-10-23 à 09:58

salut

et pour un raisonnement par récurrence il y trois choses :

1/ bien définir l'hypothèse de récurrence
2/ montrer l'hérédité
3/ initialiser
4/ conclure

ici le plus important est le 1/ et alors la suite est immédiate

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 11:34

Sylvieg @ 07-10-2023 à 22:42

Bonsoir,
Tu n'as pas à creuser cette piste car l'égalité est donnée après "on sait que" dans l'énoncé.

Par contre écrire les égalités obtenues en remplaçant n par 1 puis par 2 dans \sum_{k=1}^{n}{x^3_k}=(\sum_{k=1}^{n}{x_k})^2  peut donner des idées.
Je ne reviendrai que demain matin.


On trouve le même résultat pour les deux membres

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 11:35

carpediem @ 08-10-2023 à 09:58

salut

et pour un raisonnement par récurrence il y trois choses :

1/ bien définir l'hypothèse de récurrence
2/ montrer l'hérédité
3/ initialiser
4/ conclure

ici le plus important est le 1/ et alors la suite est immédiate


Je n'ai pas trop compris, est-ce que je dois utiliser la récurrence ou non ?
Je ne sais pas par où aller

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 11:54

Oui, utilise une récurrence.
Mais en précisant bien au départ la propriété que tu vas démontrer par récurrence.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 11:57

Citation :
On trouve le même résultat pour les deux membres
Non.
Pas avec des xi quelconques.
Peux-tu détailler ?

Posté par
carpediem
re : somme 08-10-23 à 12:08

et tant que tu n'auras pas donné précisément la proposition que tu veux montrer par récurrence tout le reste ne vaut rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 12:19

J'ai l'impression que lou1100 n'a pas bien compris l'énoncé.

Soit (En) l'égalité \sum_{k=1}^{n}{x^3_k}=(\sum_{k=1}^{n}{x_k})^2 où n est dans *.
Il ne s'agit pas de démontrer (En) ; mais de démontrer que si (En) est vraie pour tout n de * alors tous les xk sont égaux à k.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 12:24

Avant d'essayer de mettre en place une récurrence, j'aimerais que lou1100 écrive l'égalité (E1) puis l'égalité (E2).
Et qu'il les recopie ici.

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 16:22

Excusez-moi de temps de réponse,
(E1)=
pour n = 1 :
13 = 12
soit 1=1

(E2)=
pour n = 2
13+ 23= (1+2)²
soit 9 = 9

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 16:36

C'est bien ce que je pensais : Tu confonds avec la formule donnée au début.
Relis l'énoncé où il est question de réels xk.
L'égalité (E1) s'écrit ainsi : x13 = x12.
Et (E2) : x13 + x23 = (x1 + x2)2

(E1) permet de démontrer x1 = 1.
(E2) permet alors de démontrer x2 = 2.
Tu peux chercher à démontrer aussi x3 = 3 pour mieux comprendre comment faire la démonstration demandée.

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 17:37

D'accord.
J'ai fait au brouillon mais je me retrouve avec plusieurs solutions.
Pour x2 je me retrouve avec trois solutions possible.
Mais j'ai une structure qui commence à se dessiner.
Pour démontrer que x2=2 je me suis servie de x1=1 pour remplacer dans l'expression et comme ça je me retrouve avec que des inconnues  x2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 17:38

N'oublie pas que les xk sont strictement positifs.

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 17:41

Donc c'est pour cela qu'on admet uniquement la solution x2=2, je comprends mieux!
Comment généraliser cela pour en faire la demo ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 17:43

Si tu ne vois pas, recommence avec (E3).

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 18:09

J'ai recommencer avec (E3) et j'ai tiré plusieurs conclusions :
- on se sert toujours du terme qu'on a trouvé précédemment pour calculer le prochain, ex : pour calculer x2 j'ai utilisé la valeur trouvé de x1 ainsi de suite pour x3

- quand je trouve les solutions j'ai toujours la version négative du terme précédent qui apparait
, ex: pour x2 j'obtiens 3 solutions : -1;0;2
pour x3 j'obtiens 3 solutions: -2;0;3

Maintenant que faire de ces observations ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 18:14

Pour trouver x3, tu as utilisé x2 mais aussi x1, non ?
Maintenant, tu vas pouvoir écrire la proposition que tu veux montrer par récurrence.

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 18:25

Je veux montrer par récurrence que pour tout n *, xk=k

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 18:34

Tu mélanges des k et des n.
Quelle sera ton hypothèse de récurrence ?

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 19:01

xk+1= k+1 ?

Posté par
carpediem
re : somme 08-10-23 à 19:06

je passe mais pour préciser quelques choses et compléter la demande de Sylvieg :

lou1100 @ 08-10-2023 à 18:09

- on se sert toujours du terme qu'on a trouvé précédemment pour calculer le prochain, ex : pour calculer x2 j'ai utilisé la valeur trouvé de x1 ainsi de suite pour x3 certes mais tu ne retiens pas l'essentiel

maintenant que faire de ces observations ?elles sont sans intérêt vu ma remarque précédente : c'est juste les calculs

n'oublie pas que tu veux faire un raisonnement par récurrence

Sylvieg @ 08-10-2023 à 16:36

(E1) permet de démontrer x1 = 1. ne serait-ce pas l'initialisation ?
(E2) permet alors de démontrer x2 = 2.  grâce au résultat précédent
Tu peux chercher à démontrer aussi x3 = 3  grâce au résultat précédent


tu ne la sens pas cette récurrence ?

mais il y a un pas encore pour bien définir cette hypothèse de récurrence ...

je vous laisse ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 08-10-23 à 19:19

Je rajoute un tout petit quelque chose mais qui a son importance :
Tu peux chercher à démontrer aussi x3 = 3 grâce aux résultats précédents.

Je ne vais plus être disponible avant 20h30.
Mais carpediem sera peut-être présent.

Posté par
lou1100
re : somme 08-10-23 à 21:23

Je suis de retour !
Normalement j'ai trouvé la solution.
Soit (xk)k>1) une suite contenant des réels qui sont strictement positifs.
Ils verifient :
n *, \sum_{k=1}^{n}{x^3_k} = (\sum_{k=1}^{n}{x_k})^2
Alors n*,xk=k

On procède par récurrence:

* x^3_1=x^2_1 alors x_1=1

*On suppose que pour un k1 on a :
x_k =k pour tout k [1;n],

alors: \sum_{k=1}^{n+1}{x^3_k} = (\sum_{k=1}^{n+1}{x_k})^2 \ on écrit : \sum_{k=1}^{n}{k^3+x^3_n_+_1} =(\sum_{k=1}^{n}{k + x_n_+_1})^2

et donc  x^3_n_+_1 = n(n+1)x_{n+1} + x^2_{n+1}

donc : x^2_{n+1} - x_{n+1} - n(n+1)=0

Il s'agit ici d'une equation du second degré qu'on résout (je n'écris pas le détail ici par économie de temps...)

On trouve x_{n+1} = n+1

J'espère que je vois le bout de cet exo

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 09-10-23 à 07:17

Il faut mieux faire apparaître où est utilisée l'hypothèse de récurrence. Que veut dire "on écrit" ?

Il manque quelque chose avant le "et donc".
Il faut développer clairement le carré de l'égalité qui précède.

Pour l'équation du second degré, elle se factorise :
(x-(n+1))(x+n) = 0.

Je ne vais pas être disponible avant la fin de l'après midi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 09-10-23 à 07:20

Et l'hypothèse de récurrence est mal écrite :
On suppose que pour un n 1

Et l'initialisation est trop rapide.

Posté par
Ulmiere
re : somme 10-10-23 à 12:56

Et, à garder pour quand la récurrence sera correctement rédigée, il est possible de rédiger en deux parties

Première partie
On constate que x_1 = 1 (pourquoi ? c'est la même question pour ton initialisation)

et pour tout n\geqslant 2,
\begin{array}{lcl}
 \\ x_n^3 &=& \sum_{k=1}^{n} x_k^3 - \sum_{k=1}^{n-1} x_k^3\\
 \\ &=& \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 - \left(\sum_{k=1}^{n-1} x_k\right)^2\\
 \\ &=& x_n \times \left(x_n + 2\sum_{k=1}^{n-1}x_k\right)
 \\ \end{array}

Seconde partie
C'est là que tu fais ta récurrence forte, avec un énoncé très simple que je te laisse nous communiquer. L'initialisation est déjà traitée dans la première partie.
Pour l'hérédité, ton hypothèse de récurrence (forte) et le fait que x soit une suite à termes non nuls te permet de retrouver le même trinôme du second degré : x_n^2 - x_n - n(n-1) = 0.
Somme des racines égale à 1 et produit égal à n(1-n) ? n et 1-n font l'affaire, donc ce sont les seules racines. 1-n est négatif quand n >= 2, donc n est la seule racine qi nous intéresse à tous les coups et donc x_n = n.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 10-10-23 à 13:28

Bonjour Ulmiere,
Pourquoi intervenir alors que le demandeur n'a pas réagi ?

De plus, carpediem a insisté sur l'importance de l'hypothèse de récurrence, et lou1100 en a tenu compte en écrivant

Citation :
*On suppose que pour un n 1 on a :
x_k =k pour tout k [1;n],
où j'ai remplacé k par n dans la première ligne.
Inutile alors de parler de récurrence forte.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 10-10-23 à 13:32

J'aurais d'autres commentaires à faire le contenu de ton message ; mais je m'abstiens pour ne pas embrouiller lou1100.

Posté par
carpediem
re : somme 11-10-23 à 14:49

c'est dommage de ne pas avoir de retour de lou1100 qui ne semble pas vouloir se confronter à la difficulté principale de l'hypothèse de récurrence sur laquelle il y avait une grande confusion (relevée par Sylvieg)

je relance une dernière fois et demain je donnerai la réponse d'autant plus qu'il me semble qu'on peut proposer deux hypothèses de récurrence ("avec ordre et sans ordre") dont une qui modifie légèrement l'énoncé mais qui me semble instructif

et la "sans ordre" se ramenera tout de même à la "avec ordre"

à demain ...

Posté par
lou1100
re : somme 23-10-23 à 20:34

Bonsoir,
Je vous présente mes excuses pour mon temps de réponse.
Je me suis laissé submerger par la prepa et j'ai oublié de venir répondre sur le forum.
Ce n'est pas correct de ma part, j'en suis désolé.
A l'avenir, je ferai plus attention.
Je vous remercie pour votre aide.
lou1100

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : somme 23-10-23 à 20:42

De rien lou1100.
Et pense à te détendre un peu pendant les vacances

Posté par
carpediem
re : somme 24-10-23 à 09:28

de rien ... mais tu n'as toujours pas répondu à nos questions sur l'expression de l'hypothèse de récurrence

ou alors au moins nous dire ce que ton prof a proposé ...



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