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Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R)

Posté par
superjuju45 03-10-19 à 18:45

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant :

Soit G={A1, ... , Ap} un sous-groupe fini, de cardinal p, de GLn().
On pose M=\sum_{j=1}^{p}{A_j}.
Calculer M² et en déduire que la trace de M est un entier divisible par p.

J'ai posé ce que je savais en essayant de creuser un peu :

M²=(\sum_{j=1}^{p}{A_j})²
=(\sum_{j=1}^{p}{A_j})(\sum_{k=1}^{p}{A_k})
=\sum_{j=1}^{p}{\sum_{k=1}^{p}{A_jA_k}}
et tr(M)=\sum_{k=1}^{p}{(\sum_{j=1}^{p}{A_j})_{k,k}}
=\sum_{k=1}^{p}{(\sum_{j=1}^{p}{a_j}_{k,k})}
=\sum_{j=1}^{p}{tr(A_j)}

mais je ne trouve pas de lien entre tr(M) et M². J'ai posé un cas concret avec 3 matrices 2,2 mais ça ne m'a pas aidé à comprendre le cas abstrait.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
perroquetre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 18:50

(re)Bonjour.

L'idée est de démontrer que   M^2=pM  en démontrant que, pour tout i:
A_i\left( \sum_{j=1}^p A_j\right) =\sum_{k=1}^p A_k

Posté par
jsvdbre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 18:51

Bonjour superjuju45.
Je te fais juste observer que M^2 s'exprime comme une somme d'éléments de G.

Posté par
superjuju45re : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 19:11

Bonjour jsvdb, rebonjour perroquet. J'ai un doute tout d'un coup, GLn() ici, on le considère bien comme un groupe multiplicatif ?

Posté par
jsvdbre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 19:14

Toujours, puisqu'il s'agit des éléments inversibles de GL_n(\R)

Posté par
jsvdbre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 19:16

* Toujours, puisqu'il s'agit des éléments inversibles de \textbf{End}(\R^n)

Posté par
superjuju45re : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 20:08

J'ai réussi à montrer que

perroquet @ 03-10-2019 à 18:50

pour tout i:
A_i\left( \sum_{j=1}^p A_j\right) =\sum_{k=1}^p A_k
:

J'ai considéré f_i\begin{pmatrix} G\rightarrow G\\ A_j\vdash >A_iA_j=A_k \end{pmatrix}
Soient Aj et Aj' tq f(Aj)=f(Aj') :
A_iA_j=A_iA_{j'}
A_i^{-1}A_iA_j=A_i^{-1}A_iA_{j'} car A_iGLn()
A_j=A_{j'}
donc f est injectif avec ensembles de départ et d'arrivée de même cardinal fini donc f est bijective.

Donc soit i[[1,p]]chaque (A_iA_j)_{j\in[[1,n]]} donne un A_k différent d'où l'égalité.

Mais je n'arrive pas à montrer que A_i(\sum_{j=1}^{p}{A_j})=\frac{M²}{p}

Posté par
perroquetre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 20:22

M^2 = \left(\sum_{i=1}^p A_i\right)\left(\sum_{j=1}^p A_j\right) = \sum_{i=1}^p \left(A_i\sum_{j=1}^p A_j \right)

Posté par
superjuju45re : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 20:58

Du coup bêtement \sum_{i=1}^{p}{M}=pM ce qui nous donne tr(M)=\frac{1}{p}tr(M²) mais je me suis rapidement rendu compte que montrer que la trace est entière va être une autre paire de manche.  Il y a une astuce ou quelque chose comme ça ?

Posté par
perroquetre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 21:04

Montrer que  \dfrac{1}{p} M est un projecteur.

Et ne pas oublier que d'après le cours, la trace d'un projecteur est un entier

Posté par
superjuju45re : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 21:27

Je crois que j'ai :
\frac{1}{p}M\times\frac{1}{p}M=\frac{M²}{p²}=\frac{M}{p} car pM=M²
donc \frac{1}{p}tr(M)=tr(\frac{1}{p}M)=rg(\frac{1}{p}M)\in N
donc tr(M) est un entier divisible par p.

Posté par
perroquetre : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 21:31

OK  

Posté par
superjuju45re : Somme d'éléments d'un sous-groupe fini de GLn(R) 03-10-19 à 21:35

Merci beaucoup pour ton aide, y a certaines étapes auxquelles j'aurais jamais pensé.


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