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somme d uine serie

Posté par gouari (invité) 31-01-06 à 22:07

salut a tous
j'aimerai savoir comment montrer que :
     (de n=1 à +) 1/n² = pi²/6
merci beaucoup

Posté par
Cauchyre : somme d uine serie 31-01-06 à 22:11

Bonjour, si tu connais les séries de Fourier développes la fonction 2 pi periodique qui vaut |x| sur [-Pi,Pi] et vois ce que tu peux faire apres.

Posté par
Youpire : somme d uine serie 31-01-06 à 23:29

On peux aussi considérer la fonction 2 périodique définie sur ]-,[ par f(x)=\frac{x}{2} et f(\pi)=0
on trouve les coefficients de Fourier:
3$a_k=0 car f est impaire et 3$ b_k=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{t}{2}sin(kt) dt=\frac{(-1)^{k-1}}{k}
on montre que f vérifie les hypothèses du théorème de Dirichelet et on a: 3$ f(x)=\frac{x}{2}=\bigsum_{k \ge 1}\frac{(-1)^{k-1}}{k} sin(kx)
ensuite d'après la relation de Parseval on peux écrire:
3$ \frac{1}{2} \bigsum_{k \ge 1}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{t^2}{4}dt=\frac{1}{2\pi}[\frac{t^3}{12}]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\pi^2}{12}
d'où le résultat :
3$ \bigsum_{k \ge 1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}


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