Salut,
tu cherches à donner des exercices aux étudiants d'ici?
Je ne doute pas que tu saches faire.
C'est pas plus facile de trouver Tn et ensuite Sn? (par Taylor)

Bonjour,

La remarque de otto concerne-t-elle le DL de ln(1+x) ?

Philoux

Salut,
oui c'exactement ce que je voulais dire.
On a la convergence simple de la sérié de taylor de ln(1+x) vers ln(1+x) sur le disque unité ouvert, et pour x=1 on a la convergence de la série numérique.

Re-
en fait, attention ce n'est pas vraiment un DL, même si c'est le même développement.
Le DL donne une information locale et approximative
Le développement en série donne une information plus ou moins locale, mais "exacte".
Le "plus ou moins locale" vient du fait que tu peux avoir un développement en série dans beaucoup de petits disques, et tels que tu ne puisses pas "raccorder" les développements.
(En fait, une fonction est développable en série entière sur le plus grand disque sur lequel elle est holomorphe, et cette série converge vers la fonction)

Merci

Toutes ces conditions de convergence sont lointaines et difficiles à comprendre.
Peux-tu, en qq mots accessibles, rappeler ces conditions (disque ouvert ?) ?
A moins qu'il faille tout développer, comme un cours, auquel cas laisse tomber.

Merci à l'avance

Philoux

Salut,
l'idée je le rappelle, est de généraliser ces notions d'intervalles que l'on a dans R.
Dans R un intervalle, c'est un ensemble I vérifiant :
si a et b sont dans I, alors a<c<b implique que c est dans I.
On montre que sauf si I=R ou vide, alors I est du type
[a,b],]a,b[ ou un mélange des 2 (éventuellement a ou b sont infinis)

Lorsqu'un intervalle est du type ]a,b[, on dit qu'il est ouvert.
Ouvert parce que si on prend un point n'importe où dans l'intervalle, on peut encore se déplacer un tout petit peut à droite, et un tout petit peu à gauche (le "et" ici sera important)

On va alors généraliser l'idée et on défini la notion "d'intervalle" (attention, le mot intervalle n'a pas le sens que je vais expliquer dans R^n) comme étant l'ensemble des points situé à une distance inférieure à un r donné, d'un point O donné.
C'est le disque de centre O et de rayon r. On voit bien pourquoi on parle de disque.
L'idée est que si on supprime la "frontière" de ce disque, c'est à dire le cercle de centre O et de rayon r, alors on a un disque qui vérifie la propriété que j'énonce plus haut, c'est à dire, si on se place n'importe ou, on peut encore se déplacer dans toutes les directions et rester dans le disque. C'est ca être ouvert.

Les ouverts d'un ensemble X, définissent la topologie sur X, et notamment, si on défini une dérivée, c'est toujours sur les ouverts que l'on se place.

L'idée du théorème que j'énonce est que si on regarde par exemple la fonction
f:=x->1/(1+x²)
alors on voit bien que cette fonction est Coo sur R tout entier, et on sait qu'elle est développable en série entière en 0 sur ]-1,1[, notamment ce développement est
1-x²+x^4-x^6+x^8+...

Mais la question que l'on peut se poser est:
Pourquoi est ce qu'elle ne converge pas sur R tout entier?

Si on regarde la fonction
g:=x->1/(1+x)
on a f(x)=g(x²) et g est développable en série entière en 0 sur ]-1,1[ et ce développement est
1-x+x^2-x^3+x^4+....

En fait pour g on voit bien qu'il y'a une coupure en -1, puisque g(-1) ne se défini pas, mais pourquoi c'est aussi le cas pour f puisque f est définie partout.

L'idée est que si on se place dans les complexes:
x²+1 possède 2 racines, une en i et l'autre en -i:
La distance de i et de -i à 0 est de 1, donc 1/(x²+1) n'est pas définie sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (puisque 2 points posent problèmes) mais est définie partout avant, donc sur le disque de rayon 1 et de centre 0.
C'est ca que j'énoncais.
A+

Oups, j'ai pas vraiment conclu:
une fois que l'on a vu que dans C, le développement en série entière en 0 se faisait au maximum sur le disque de centre 0 et de rayon 1, alors sur R c'est pareil, c'est à dire sur ]-1,1[, et voilà pourquoi on ne peut pas sur R, agrandir ce domaine de convergence.

A+

Merci pour cet effort de vulgarisation; c'est peu fréquent sur l' pour être remarqué (surtout dès que ça commence à être un peu "touchy", les intervenants n'aiment pas trop développer ce qui leur semble "évident")

...alors on voit bien que cette fonction est Coo sur R tout entier...
Le Coo m'est inconnu ? peut-être pas nécessaire pour te suivre ?

Une question : qd tu dis ...En fait pour g on voit bien qu'il y'a une coupure en -1, puisque g(-1) ne se défini pas...
Dès que le x² sera <O, donc de ]-1,0], le g(x²) ne sera pas défini ? je dis une bétise ?

Autre question qui va te sembler bête/évidente :
Est-ce que ton explication défini la validité du DL ?
Autrement dit, est-ce que je peux remplacer x par ]-1,1[ dans : 1-x²+x^4-x^6... et cela convergera ? dès que |x|>1 je n'ai plus le droit de le faire ?
Autre question :
Comment utiliser le DL qd le x est hors domaine de convergence ? on peut ou pas (changement de variable ?) ?

Merci pour tes réponses "accessibles".

Philoux

Salut,
Cinfini c'est être dérivable autant de fois que tu veux (infiniement)

Sinon tu as g(-1) qui n'existe pas, mais c'est le seul point singulier, puisque x²>0 dans R, on a bien que f(x)=g(x²) est défini partout, c'est pour celà qu'on a une vraie subtilité ici, et qu'il faut vraiment passer dans C pour voir ce qui se passe.

Pour le reste, je pense que tu fais une confusion entre DL et développement en série.
Comme je l'ai dit un Dl est vraiment une approximation:
sin(x)=x+o(x) par exemple
est une approximation du sinus en 0.
Ici il n'y a pas de problème de convergence.

Si tu veux un exemple:
exp(-1/x²) est C infinie, donc on peut lui associer un dl à tout ordre, et ce dl est en fait nul à tout ordre
En revanche, si tu peux lui associer une série entière, il n'y aurai jamais convergence, sauf pour x=0.
Une raison simple, est qu'il y'a unicité du développement en série:
Si je te donne 2 séries égales à tout ordre, alors elles convergent vers la même fonction f.
Notamment, 0 est déjà le développement en série de la fonction nulle, ca ne peut donc pas être celui de exp(-1/x²).
On voit donc un bel exemple de fonction admettant un dl à tout ordre en 0, et dont la série entière ne converge pas vers elle.

Attention donc, le dl sert à avoir une approximation, le développement en série sert à représenter notre fonction sous forme de série de polynômes.

On voit aussi une chose, être C infini ne suffit pas pour avoir un développement en série entière, alors que c'est "l'inverse" pour les DL, être Cn suffit pour avoir un dl d'ordre n, mais ce n'est pas nécessaire. (sauf si n=1 ou 0)

Amicalement,
otto

Merci

à cogiter...

Philoux

Pour répondre à ta dernière question, je dirais qu'il y'a incompréhension. C'est intéressant comme question, ra recoupe ce que je disais:
Mon développement
1-x+x²-x^3+....
est un développement autour de 0 (dans le disque de centre 0 et de rayon 1)

Mais je peux trouver un développement partout ailleurs, à condition que la fonction y soit définie.

par exemple x=3 est en dehors du disque de convergence.
Je vais donc pouvoir lui trouver un développement en série autour ed 3, sur le disque de rayon r=? et de centre 3.
Ce développement n'aura aucune chance d'être donné par la même formule que celui en 0. Il va falloir le recalculer avec la formule
f(0)+(x-xo)f'(xo)+....
Si tu as compris l'idée tu devrais trouver r, notamment r=min(d(3,i),d(3,-i))=racine de 10 (je pense)

Nos posts se sont croisés

En utilisant Taylor et en remplaçant x₀ par 3 ?
et en calculant les différents fⁿ(3) ?

fastidueux, non ?

Ya pas plus simple, rapide ?

Je ne vois pas comment introduire r ?
tu peux me donner une piste ?

Philoux

Salut, oui c'est fastidieux, mais on a pas tellement le choix.

Pour r, comme je te l'ai dit c'est le rayon du plus grand disque sur lequel la série converge.
Puisque les singularités se trouvent en i et en -i et nul part ailleurs, on sait que ce sera en ces points qu'il y'aura un problème.
Le plus grand disque de rayon r et de centre 3, c'est le disque tel que sa frontière vient "toucher" i ou -i (puisque 3 est réel il est en fait équidistant à i et -i)
Notamment le plus grand disque de centre 3 qui ne contient ni i ni -i, c'est le disque de rayon = la distance de 3 à i (ou -i)

La distance de i à 3 (resp -i) est |3-i|=racine de (9+1)=racine de 10.
Idem pour la distance de -i à 3.

Donc la série va converger sur le disque ouvert de centre 3 et de rayon racine de 10. Après on est plus sur de rien (et en i et -i on est sur que ca ne devrait rien donner à part peut etre quelque chose de faux)

A+

Autrement dit, est-ce que je peux généraliser en disant que r correspond à la distance de x0 (ici = à 3) aux valeurs qui rendent la fonction indéfinie (si elles existent, dans R et/ou C) ?

en l'occurence, les i et -i sont les valeurs qui rendent indéfinie 1/(x²+1).

Autre chose qui me tracasse :
ici j'ai pris x0=3 => le rayon de cvg =rac(1+3²)
Plus on prendra un x élevé, plus la série cvgera sur un disque grand.
Ce n'est pas paradoxal ?

Philoux

Autre question

est-ce que l'on sait/peut faire des DL pour des valeurs de x complexes ?
Quel est/serait l'intérêt ?

Dans quelle partie de la physique exploite-t-on ces propriétés ?

Philoux

Salut,
pour répondre à ton avant dernier post, c'est bien l'idée, et si tu as plusieurs points singuliers, alors tu prends la plus petite distance.

Sinon pour ta dernière question c'est l'idée, plus c'est loin, plus le disque est grand. Pourquoi serait ce paradoxale?

Sinon je ne connais pas énormément d'applications concrètes en physique, mais l'analyse complexe en général, a énormément d'applications, notamment en mécanique, mécanique des fluides etc.
Sinon comme tu peux le voir, ca a énormément d'applications en mathématiques théoriques réelles.

Par exemple, si tu cherches à montrer qu'une fonction admet un développement en série entière, tu as juste à montrer qu'elle est dérivable au sens complexe.
En effet, une fonction qui est infiniement dérivable au sens réel, n'admet pas forcément un développement en série entière (comme vu avec exp(-1/x²)), cependant, si une fonction est dérivable une seule fois, au sens complexe, alors elle est développable en série entière sur le plus grand disque ou elle est dérivable.
C'est comme tu peux le voir, quelque chose d'extremement fort, notamment si une fonction est infiniement dérivable sur R, on ne peut pas forcément la prolonger en une fonction dérivable sur C.

De même, on peut penser que si on considère C=R², alors être dérivable au sens complexe revient à être différentiable sur R².
En réalité, c'est totalement faux aussi, et c'est beaucoup plus fort que ca (dérivable sur C implique différentiable sur R²).
Notamment, ca nous amène à une caractérisation essentielle des fonctions dérivables sur C:
Un complexe z s'écrit z=x+iy, x et y réels.
Donc une fonction complexe s'écrit:
f(z)=f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y)
où U et V sont des fonctions de R² dans R².
On montre quelque chose de fort: (théorème (ou équations) de Cauchy-Riemann)
Si f est dérivable au sens complexe sur un ouvert U (on dit holomorphe sur U) alors U et V sont des fonctions harmoniques.
On a une réciproque partielle:
Si on a un ouvert U, telles que U et V sont harmoniques et de classe C1, alors f est holomorphe sur U.

On a aussi quelque chose de très puissant, qui nous dit que si 2 fonctions f,g holomorphes sur un domaine (ouvert connexe, connexe= en un seul morceau), telles que f=g sur un ensemble connexe non vide, non réduit à un point, même si cet ensemble est aussi petit que l'on veut, alors f=g partout sur D.
C'est une sorte de généralisation du théorème de d'Alembert-Gauss:
Si deux polynômes sont égaux sur un intervalle non vide, non réduit à un point, alors ils sont égaux partout.
Ca c'est très important, surtout si on l'utilise conjointement à un autre principe intéressant:
Si U est harmonique, il existe une unique fonction harmonique V telle que f=U+iV soit localement holomorphe.(on dit que V est le conjugué harmonique de U)
Ca permet alors de travailler sur la fonction holomorphe f...

Dieu sait que les fonctions harmoniques sont importantes en physique...
Ca répond peut être à ta question

Oui mais je dois t'avouer que je décroche : trop de nouvelles notions qui ne sont pas encore assimilées ou du moins, ne sont comprises que dans un contexte restreint.

Pour ce qui me sempblait paradoxal, question pénultième, c'est que j'imaginais que cette convergence était cste quelquesoit le x0, et à égale distance de ce x0. ( en quelque sorte, que les points i et -i initiaux se déplaçaient en x0 +/- i). Comme tu vois, il me manque de sacrées bases.

Merci pour ta patience.

Philoux

Salut,
je ne pige pas ce que tu veux dire.
Je vais devoir m'absenter, mais je serais heureux de répondre à tes questions futures.
A+