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Somme de carrés = 1

Posté par
Ryutzu
07-04-24 à 02:24

Bonjour,

Je devais montrer que cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}  et  sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. J'ai donc montré que (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})^{2}=1. Je sais que ça ne prouve rien mais je me demandais si la somme de deux carrés égale à 1 implique qu'il existe un nombre réel x tel que a=cos(x) et b=sin(x) ? Merci d'avance

Posté par
Ryutzu
re : Somme de carrés = 1 07-04-24 à 02:25

(la somme des deux carrés étant a²+b²=1)

Posté par
LeHibou
re : Somme de carrés = 1 07-04-24 à 09:00

Bonjour,
La réponse est oui, ça se démontre assez facilement en montrant que :
- si a²+b²=1, alors -1a1 et de même pour b
- avec la fonction réciproque de la fonction cosinus, en posant x=arccos(a), donc a=cos(x), on montre que b=sin(x).
Note que ce nombre réel x n'est pas unique, comme souvent dans les équations trigonométriques.

Posté par
carpediem
re : Somme de carrés = 1 07-04-24 à 09:00

salut

en posant t = 7pi/12

il est évident qu'une fois connu l'un des deux (cos t ou sin t) alors l'autre est connu par la relation que tu rappelles ...

tout le pb est de montrer qu'on a ces valeurs ...

et alors on peut remarquer que t = 7pi/12 = pi/2 + pi/12

or pi/12 est la moitié de son double !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme de carrés = 1 07-04-24 à 10:01

Bonjour,
Pour exploiter l'égalité vérifiée par Ryutzu, c'est à dire (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})^{2}=1, on peut poser x tel que
cos(x)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} et sin(x)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
puis remarquer que sin(2x) est très simple.

Posté par
Ryutzu
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 21:33

LeHibou @ 07-04-2024 à 09:00

Bonjour,
La réponse est oui, ça se démontre assez facilement en montrant que :
- si a²+b²=1, alors -1a1 et de même pour b
- avec la fonction réciproque de la fonction cosinus, en posant x=arccos(a), donc a=cos(x), on montre que b=sin(x).
Note que ce nombre réel x n'est pas unique, comme souvent dans les équations trigonométriques.


Désolé mais pourriez-vous détailler pour la deuxième partie de la preuve avec x=arccos(a)...? Merci d'avance

Posté par
Ryutzu
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 21:38

carpediem @ 07-04-2024 à 09:00

salut

en posant t = 7pi/12

il est évident qu'une fois connu l'un des deux (cos t ou sin t) alors l'autre est connu par la relation que tu rappelles ...

tout le pb est de montrer qu'on a ces valeurs ...

et alors on peut remarquer que t = 7pi/12 = pi/2 + pi/12

or pi/12 est la moitié de son double !!


Je n'arrive pas à comprendre en quoi pi/6 = 2*pi/12 nous aide ici puisque dans toutes les formules d'arc double on aurait quand même besoin de la valeur de cos(pi/12) ou sin(pi/12)

Posté par
alb12
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 21:42

Salut
Quel est le but ? Calculer cos(pi/3+pi/4) ?

Posté par
GBZM
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 21:43

Bonsoir,

Onpeut aussi remarquer que  \Large \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}  .

Posté par
Ryutzu
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 21:51

alb12 @ 08-04-2024 à 21:42

Salut
Quel est le but ? Calculer cos(pi/3+pi/4) ?
Salut, pas vraiment à la base je voulais comprendre comment prouver l'implication que j'énonce dans le post de base

GBZM @ 08-04-2024 à 21:43

Bonsoir,

Onpeut aussi remarquer que  \Large \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}  .
Oui oui bien entendu mais ici je ne cherche plus à calculer cos(7pi/12) et sin(7pi/12) mais comprendre où voulaient en venir les deux personnes m'ayant répondu au dessus

Posté par
Zormuche
re : Somme de carrés = 1 08-04-24 à 23:02

Bonsoir
Juste une remarque visuelle
si de tels a et b existent, alors il existe un triangle rectangle d'hypoténuse 1 et de côtés a et b. L'angle thêta est alors celui dont le cosinus vaut a et le sinus vaut b (donc, il existe)

Somme de carrés = 1

Posté par
carpediem
re : Somme de carrés = 1 09-04-24 à 08:47

Ryutzu @ 08-04-2024 à 21:51

pas vraiment à la base je voulais comprendre comment prouver l'implication que j'énonce dans le post de base

Zormuche t'a répondu graphiquement : si a et b sont deux réels tels que  a^2 + b^2 = 1  alors il existe un réel x tel que cos x = a et sin x = b

Ryutzu @ 08-04-2024 à 21:51

Oui oui bien entendu mais ici je ne cherche plus à calculer cos(7pi/12) et sin(7pi/12) mais comprendre où voulaient en venir les deux personnes m'ayant répondu au dessus
oui mais ensuite il faut trouver cette valeur de x et montrer que x = 7pi/12

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme de carrés = 1 09-04-24 à 09:16

Sylvieg @ 07-04-2024 à 10:01

Bonjour,
Pour exploiter l'égalité vérifiée par Ryutzu, c'est à dire (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})^{2}=1, on peut poser x tel que
cos(x)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} et sin(x)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
puis remarquer que sin(2x) est très simple.

Posté par
Ryutzu
re : Somme de carrés = 1 09-04-24 à 15:48

carpediem @ 09-04-2024 à 08:47

Ryutzu @ 08-04-2024 à 21:51

pas vraiment à la base je voulais comprendre comment prouver l'implication que j'énonce dans le post de base

Zormuche t'a répondu graphiquement : si a et b sont deux réels tels que  a^2 + b^2 = 1  alors il existe un réel x tel que cos x = a et sin x = b

Ryutzu @ 08-04-2024 à 21:51

Oui oui bien entendu mais ici je ne cherche plus à calculer cos(7pi/12) et sin(7pi/12) mais comprendre où voulaient en venir les deux personnes m'ayant répondu au dessus
oui mais ensuite il faut trouver cette valeur de x et montrer que x = 7pi/12


Pourriez vous m'expliquer ce que vous entendiez par "or pi/12 est la moitié de son double !!" Et surtout, comment l'utiliser ? Et si possible me détailler l'idée de preuve de LeHibou en début de topic ? Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Somme de carrés = 1 09-04-24 à 19:29

inutile de citer les msg pour rien !!

dans ton  post je comprends deux questions :

1/ montrer que deux réels sont le cosinus et le sinus d'un (même) réel

2/ déterminer ce réel

c'est à cette question qu'on te répond

d'une part (le plus simple) :  \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} et on applique les formules cos (a + b) = ... et sin (a + b) = ...

d'autre part  \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi} 2 + \dfrac{\pi}{12}  et  \dfrac{\pi}{12} = \dfrac 1 2 \dfrac{\pi} 6  donc pi/12 est la moitié de son double et on peut obtenir son cos et son sin à partir de ceux de pi/6 et on utilise les formules de duplication



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