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somme de coef binômiaux

Posté par
jbsph 12-01-24 à 15:05

Bonjour,
je dois montrer que la quantité suivante vaut 3n. Je ne vois pas du tout comment faire...

$\sum_{p=0}^{n}(\binom{n}{p}2^{n-p})

Quelqu'un connaît-il la solution?

Posté par
mathafou Moderateurre : somme de coef binômiaux 12-01-24 à 15:09

Bonjour,

développer (2+1)n ?

Posté par
jbsphre : somme de coef binômiaux 12-01-24 à 15:27

Ah oui ok !
Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : somme de coef binômiaux 12-01-24 à 16:48

Bonjour

Voici des indications pour une démonstration purement ensembliste.
On considère toutes les applications d'un ensemble ayant n éléments à valeurs dans \{1,2,3\}
Pour une telle fonction, on regarde le nombre d'antécédents de 3, soit p.
Les n-p éléments du complémentaire sont envoyés sur 1 ou bien sur 2. Combien de possibilités?
Je te laisse conclure...

Posté par
jbsphre : somme de coef binômiaux 09-06-24 à 20:25

Dans ce cas il y a 3^n possibilité pour la fonction "générale"

Pour p fixé, il y a 2^{n-p} possibilités pour la restriction de la fonction qui admet des images dans \{1,2\} et il y a \binom{n}{n-p} = \binom{n}{p} manières de choisir les n-p éléments parmi les n, donc \binom{n}{p}2^{n-p} fonctions distinctes pour un p fixé. Ensuite on effectue la somme pour toutes les valeurs de p (de 0 à n) et on obtient le résultat voulu ?

Posté par
Camélia Correcteurre : somme de coef binômiaux 10-06-24 à 14:39

Oui. Ça a pris 5 mois, mais c'est juste.

Posté par
jbsphre : somme de coef binômiaux 10-06-24 à 21:56

Oui... je suis désolé d'avoir mis autant de temps à répondre, j'étais accaparé par les cours ce semestre ...

Posté par
jbsphre : somme de coef binômiaux 10-06-24 à 22:00

Merci pour ta réponse en tout cas.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme de coef binômiaux 11-06-24 à 15:35


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