Niveau Maths sup

Somme de complexes

Posté par
gaby775 22-09-07 à 22:54

Bonjour à tous,

Je sèche un peu sur une question d'exercice.

Pour tout a et h Réels et n un entier naturel non nul.

Je cherche à calculer en fonction de a et de h, S(a,h) = $\sum_{i=0}^{n-1} cos(a + ih)$ i variant de 0 à n-1 pour la somme des cos(a+ih).

et S2(a,h) = $\sum_{i=0}^{n-1} sin(a + ih)$

Pour S(a,h), j'ai developpé à l'aide des formules de trigo.

$\sum_{i=0}^n-1 cos(a + ih)$ = cos(a) + cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h) + ... + cos(a) cos(h(n-1)-sin(a)sin(h(n-1)

Je ne vois pas trés bien comment calculer ces deux sommes. Si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie.

merci
@+

Posté par re : Somme de complexes 22-09-07 à 22:59

Bonsoir

$3$\rm S(a,h)+iS_{2}(a,h)=\Bigsum_{k=0}^{n-1} cos(a+kh)+isin(a+kh)=\Bigsum_{k=0}^{n-1} e^{i(a+kh)}$
C'est une suite géométrique ça tombe bien. Calcule donc cette somme et identifie partie réelle et imaginaire.

Posté par re : Somme de complexes 22-09-07 à 23:43

Alors,

j'ai décomposé exp(i(a+kh) = exp(ai) + exp(ih)^k
On considére la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison exp(ih)

S(a,h) + iS2(a,h) = exp(ia)*(1-exp(ih)^n)/(1-exp(ih))
sans oublier que exp(ih) différent de 0.

je suis en train de calculer cette somme

cos(a)(1-cos(hn))+sin(a)sin(hn) + i(sin(a)-cos(a)sin(hn)) / 1-cos(h) -isin(hn)

Posté par re : Somme de complexes 22-09-07 à 23:50

$3$\rm 1-e^{inh}=e^{i0}-e^{inh}=e^{\frac{inh}{2}}\times $e^{-i\frac{nh}{2}}+e^{i\frac{nh}{2}}$=2e^{\frac{inh}{2}}cos(\frac{nh}{2})$

même idée pour en dessous.