Niveau IUT/DUT

Somme de fonctions trigonométriques

Posté par
Arock 07-10-10 à 14:43

Bonjour à tous .

Je suis actuellement bloquer sur un exercice de maths que voici :

Il faut calculer la somme de Cn et Sn sachant que Cn = cos (kx) k allant de 0 à n
Sn = sin (kx) k allant de 0 à n

Voici le début de mes calculs
Cn = cox x + i sin x
J'utilise la formule des suites pour arriver a 1-( exp ix )^n+1 / 1 - ( exp ix ) et ensuite je suis coincé ...

Merci d'avance

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 14:46

Bonjour

C'est un bon début...

Remarque que $e^{it}-1=e^{it/2}(e^{it/2}-e^{-it/2})=e^{it/2}(2i\sin(t/2))$

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 15:06

Merci beaucoup pour l'astuce

Cela donne Nominateur - exp ( ix/2) ( 2 i sin ( n+1/2)
Dénominateur - exp (in/2) ( 2i sin x/2 )

Après il faut séparer Cn et Sn ( réels et imaginaires ) pour trouver un résultat ??

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 15:15

Oui, bien sur. Commence par simplifier!

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 15:16

... et au numérateur il y a $e^{i(n+1)x/2}$ en facteur.

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 16:31

J'aboutis à un résultat mais il me semble faux j'ai du oublier quelque chose mais je ne voit pas ...

(cos n+1x/2 + isin n+1x/2 )( 2 i sin (n+1)/2) / ( 2i sin X/2 )

donc Cn : (cos n+1x /2) (sin (n+1)x/2) / sin x/2

Sn : (sin n+1x/2 ) sin (n+1)x /2 / sin(x/2)

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 16:40

En rajoutant quelques parenthèses manquantes ça m'a l'air juste!

Encore une astuce: (c'est mon jour de bonté) on vérifie que pour n=1 c'est vrai!

Posté par re : Somme de fonctions trigonométriques 07-10-10 à 16:46

Merci beaucoup de m'avoir aider

Bonne journée