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Somme de k(k+1)("k parmis n")²

Posté par
Studier 27-12-16 à 14:10

Bonjour, après m'être bien creusé la tête, je n'arrive malheureusement toujours pas à résoudre la somme suivante :
k(k+1)("k parmis n")²
Je précise que c'est pour k allant de 0 à n. Voilà, ce serait très gentil si vous pourriez m'aider un peu
Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 14:21

en regardant les premières valeurs, on peut faire une conjecture que le résultat est (n+1)(n+2) et donc on peut peut-être la démontrer par récurrence.
je n'ai pas encore essayé de la démontrer directement.

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 14:34

D'accord, merci Glapion. Je teste la récurrence et je vous dis ce qu'il en est. Mais n'y aurait-il pas une autre façon de calculer cette somme en développant de façon à retrouver une forme qui nous permettrait d'utiliser des formules de sommes ou le binôme de Newton ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 14:38

Citation :
Mais n'y aurait-il pas une autre façon de calculer cette somme en développant de façon à retrouver une forme qui nous permettrait d'utiliser des formules de sommes ou le binôme de Newton ?

peut-être ? il faudrait la trouver.
la recette pour ("k parmis n")² c'est de prendre le coefficient de degré n du développeemnt de (1+x)n(1+x)n
avec le k(k+1) devant, il faudrait trouver une astuce où l'on dérive deux fois le produit avant de prendre le coefficient de xn. C'est sûrement un truc comme ça.

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 14:46

J'ai essayé la récurrence mais je bloque déjà à l'hérédité pour n=0.
En effet pour n=0 je trouve que la somme est égale à 0 alors que (n+1)(n+2)=(0+1)(0+2)=2.
Quant à la deuxième solution que vous proposez, je crois que je n'ai pas tout saisi

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 15:00

non initialise à n=1

Posté par
Thinkingre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 16:48

Bonjour,
@Glapion Je pense que ta formule est fausse .

Sinon il existe un moyen beaucoup plus simple de démontrer le résultat.
Pour cela il suffit de remarquer que k\cdot(k+1) = (k+1)^2-(k+1)
Or la somme des carrés de 1 à n vaut : \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (cela ce montre très aisément).
Donc la somme : S =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-\frac{(n+1)(n+2)}{2} , je te laisse développer pour arriver à un résultat plus joli.  

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 17:33

Bonjour,

Je comprend la question ainsi: calculer S_n=\Sum_{k=0}^n k(k+1){\dbinom n k}^2.
Si c'est bien cela on obtient S_0=0 et S_n=(n^2+2n-1){\dbinom {2n-2} {n-1}} pour n\geq1.

Posté par
Thinkingre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 17:35

Oups, effectivement je n'avais pas vu le ("k parmis n")² ...

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 17:46

Thinking tu as oublié le terme {\dbinom n k}^2

bravo pour ta formule jandri, effectivement ça colle avec les résultats.
il faudra nous dire comment tu as trouvé ça ?

wolfram donne 4n-1(n²+2n-1)(n-3/2) !/( (n-1)!) mais ça donne les mêmes valeurs que ta formule)

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 27-12-16 à 21:41

Pour calculer cette somme je commence par intégrer dans les coefficients binomiaux les termes qui sont en facteur (k et k+1), en commençant par k{\dbinom n k}=n{\dbinom{n-1} {k-1}}.

Ensuite j'utilise la formule de Vandermonde: \Sum_{k=0}^n {\dbinom a k}{\dbinom b{n- k}}={\dbinom {a+b} n}.

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 11:12

Merci pour vos réponses !
Jandri, j'ai compris comment tu as intégré k dans le coefficient binomial mais par contre je ne vois pas comment tu as integré (k+1). Il n'y a pas de formule, à ma connaissance, permettant d'intégrer (k+1) ou si il y'en avait une est-ce que tu pourrai me la préciser s'il te plaît ^^

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 11:18

Il suffit de séparer en deux sommes, l'une avec k, l'autre avec 1.

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 11:51

Ah oui ! Je n'y avais pas pensé.
En suivant vos conseils j'obtiens donc :
\sum_{k=0}^nk(k+1)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}² = \sum_{k=0}^nk\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
                                            =\sum_{k=0}^nn\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}(k+1)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
                                            =n\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}
En procédant de la même manière j'arrive à :
                                            =n²\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}+\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}    
Pour la 2ème somme, je sais la résoudre aisément mais pour la première somme je ne vois pas du tout comment faire pour utiliser la formule de Vandermond :/

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 11:58

C'est complètement faux à partir de l'avant-dernière ligne de calculs.
Pour pouvoir utiliser la formule de Vandermonde il faut utiliser d'abord \dbinom n k=\dbinom n{n-k}

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 12:12

Je ne comprends pas en quoi c'est faux ..
Il faudrait donc que je parte de : \sum_{k=0}^nn\left(\begin{array}{l}n-1\\k-1\end{array}\right)(k+1)\left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right)
En appliquant ta formule, j'arrive donc à : \sum_{k=0}^nn\left(\begin{array}{l}n-1\\k-1\end{array}\right)(k+1)\left(\begin{array}{l}n\\n-k\end{array}\right)
Et à partir de là je dpis utiliser la formule de Vandermond ? Si oui je n'arrive pas à repérer le \left(\begin{array}{l}a\\k\end{array}\right) dans mon expression :/

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 12:32

Ce qui est faux c'est le développement de (k+1) (ou bien il manque des parenthèses).

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 12:42

Comme ça, c'est juste ? :
\sum_{k=0}^nn{\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}}{}[k\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}]

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 13:51

Oui, c'est juste.
On peut ensuite décomposer en deux sommes (en faisant bien attention!)

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 14:17

En décomposant en deux sommes, j'arrive à :
\sum_{k=0}^{n}{n\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}}k\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}+\sum_{k=0}^{n}{n\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}
Mais je ne vois pas ce qu'on peut en faire et comment on pourrait utiliser la formule de Vandermond même en changeant \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} par \begin{pmatrix} n\\ n-k \end{pmatrix}

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 28-12-16 à 16:02

Cela demande un petit peu de réflexion.
Déjà dans la première somme il faut appliquer à nouveau la formule {\dbinom n k}=n{\dbinom{n-1} {k-1}}.
Ensuite pour la première somme il faut faire un changement d'indice (k=k'+1) pour pouvoir appliquer la formule de Vandermonde (pour la seconde on peut s'en passer en utilisant seulement \dbinom {n-1} {k-1}=\dbinom {n-1}{n-k}).

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 09:42

Je pars de :
n²\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}} + n\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n-1\\ n-k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}
En posant k'=k-1 dans la première somme et en appliquant la formule de Vandermond dans le deuxième, j'arrive donc à :
n²\sum_{k=k'+1}^{n+1}{\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}} + n\begin{pmatrix} 2n-1\\n \end{pmatrix}
Je ne sais pas si c'est correct mais, si ça l'est, je ne vois tjrs pas comment appliquer la formule de Vandermond à la première somme étant donné que celle-ci s'applique pour k allant de 0 à n.
Merci d'avance pour ton aide Jandri

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 10:49

C'est bon, je pense que j'ai enfin trouvé !
Dès le départ, on peut démarrer la somme à k=1 puisque pour k=0 cela nous donne un résultat nul.
Ainsi j'arrive à :  n²\sum_{k=1}^{n}{\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix}} + n\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} n-1\\ n-k \end{pmatrix}{\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}}
En posant k'=k-1 , on a : n²\sum_{k'=0}^{n-1}{\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}} + n\sum_{k'=0}^{n-1}{\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n\\ k'+1 \end{pmatrix}}
On obtient alors facilement : n²\sum_{k'=0}^{n-1}{\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1\\ (n-1)-k' \end{pmatrix}} + n\sum_{k'=0}^{n-1}{\begin{pmatrix} n-1\\ k' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n\\ (n-1)-k' \end{pmatrix}}
En appliquant la formule de Vandermond aux deux sommes, on finit alors par avoir :
n²\begin{pmatrix} 2n-2\\ n-1 \end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} 2n-1\\ n-1 \end{pmatrix}
Voilà ce que j'ai fini par trouver grâce à votre aide ! J'attends votre réponse pour voir si cela est juste

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 12:19

Oui, c'est très bien.

Posté par
Studierre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 14:02

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 15:21

En relisant les messages de ce fil je vois que Glapion avait suggéré une autre méthode le 27-12-16 à 14:38.

On pose f(x)=x(1+x)^n=\Sum_{k=0}^n{\dbinom n k}x^{k+1}=\Sum_{k=0}^n{\dbinom n {n-k}}x^{n-k+1}.
f''(x)=\Sum_{k=0}^n k(k+1){\dbinom n k}x^{k-1}.

La somme recherchée est le coefficient de x^n dans le développement de f(x)f''(x), en prenant la deuxième forme pour f(x).

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 15:25

ha, ça rattrape un peu ma conjecture foireuse merci jandri. il était pas facile ce topic !

Posté par
jandri Correcteurre : Somme de k(k+1)("k parmis n")² 29-12-16 à 15:31

Cette solution est plus élémentaire que celle à laquelle j'ai pensé en premier puisqu'on n'a pas besoin de faire intervenir la formule de Vandermonde.


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