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Somme de k parmi n

Posté par Mandine (invité) 20-08-05 à 16:07

bonjour j'ai un petit problème et je ne vois pas du tout comment faire pour calculer
S_n= \(n\\1\)^2+2 \(n\\2\)^2+...+n \(n\\n\)^2
merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme de k parmi n 20-08-05 à 16:15

A mon avis, utilise la méthode permettant de calculer :
\({n\\1}\)^2+...+\({n\\n}\)^2
et dérive en approchant de la fin.
J'essaie...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Somme de k parmi n 20-08-05 à 16:21

Bonjour Mandine;
S_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n}k(C_{n}^{k})^2=\Bigsum_{k=0}^{k=n}k(C_{n}^{k})^2=\Bigsum_{k=0}^{k=n}(n-k)(C_{n}^{n-k})^2=n\Bigsum_{k=0}^{k=n}(C_{n}^{k})^2-\Bigsum_{k=0}^{k=n}k(C_{n}^{k})^2 d'où:
2S_n=n\Bigsum_{k=0}^{k=n}(C_{n}^{k})^2=nC_{2n}^{n}
3$\blue S_n=\frac{nC_{2n}^{n}}{2}
Sauf erreur bien entendu

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme de k parmi n 20-08-05 à 16:23

Merci, Elhor. Ma méthode ne fonctionne pas.

Posté par Mandine (invité)re : Somme de k parmi n 20-08-05 à 16:27

merci merci merci =)

Posté par Mandine (invité)j ai encore un problème... 20-08-05 à 18:33

en fait elhor j'aimerais bien que tu m'expliques
\Bigsum_{k=0}^\n~ \(n\\k\)^2 =n\times \(2\times n\\n\)
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Somme de k parmi n 20-08-05 à 19:10

Oui Mandine,l'identité que j'ai utilisé est plutot:
3$\blue\Bigsum_{k=0}^{k=n}(C_{n}^{k})^2=C_{2n}^{n}
elle se montre en remarquant que:
3$\Bigsum_{k=0}^{k=n}(C_{n}^{k})^2=\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}C_{n}^{n-k}=\Bigsum_{0\le k,l\le n,k+l=n}C_{n}^{k}C_{n}^{l} donc si on considére le polynome:
3$P(X)=(1+X)^{2n}=((1+X)^n)^2=(\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}X^k)^2=(\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}X^k)(\Bigsum_{l=0}^{l=n}C_{n}^{l}X^l)=\Bigsum_{0\le k,l\le n}C_{n}^{k}C_{n}^{l}X^{k+l} on voit que:
3$\Bigsum_{0\le k,l\le n,k+l=n}C_{n}^{k}C_{n}^{l} n'est autre que le coefficient de 3$X^n dans le développement du polynome 3$P(X) et comme:
3$P(X)=(1+X)^{2n}=\Bigsum_{k=0}^{k=2n}C_{2n}^{k}X^k ce coefficient est aussi 3$C_{2n}^{n}
Conclusion:
3$\red\Bigsum_{k=0}^{k=n}(C_{n}^{k})^2=C_{2n}^{n}

Posté par Mandine (invité)re 20-08-05 à 19:16

merci ava mieux...

Posté par abilify (invité)re 20-08-05 à 19:26

Arf !!!
Ca me rapelle toutes ces histoires de dénombrement au lycée. Pas toujours facile quand on est nul en maths !!!


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