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Somme de partie entière!

Posté par
matthieu73 10-11-07 à 17:38

Bonsoir à tous

Voila je bloque sur une question qui me laisse rêveur...

Soit p,q \in \mathbb{N}* sont premiers entre eux.
Montrer que:
3$\Bigsum_{k=1}^{q-1} E(k.\frac{p}{q})=\frac{(p-1)(q-1)}{2}

Ce que j'ai fait:
indicateur d'Euler, ou encore:
E(x)+E(-x)=0 ou -1
J'ai prouvé par cela que pour q=1 et q=2 -> OK
Pour q=3, j'ai:
3$\frac{(p-1)(q-1)}{2}+\Bigsum_{k=1}^{q-1} E(-k.\frac{p}{q})\le -1 \\
Merci d'avance pour votre aide très utile...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Somme de partie entière! 10-11-07 à 17:39

Bonjour

développe ta somme en deux façons ..;

Posté par
matthieu73re : Somme de partie entière! 10-11-07 à 17:49

J'ai:

3$\Bigsum_{k=1}^{q-1} E(k.\frac{p}{q})=E(\frac{p}{q})+E(\frac{2p}{q})+...+E(\frac{(q-1)p}{q})

Mais je ne vois pas la seconde façons de développer

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Somme de partie entière! 10-11-07 à 18:09

Bon:

3$\rm\Bigsum_{k=1}^{q-1}E(k.\frac{p}{q})=E(\frac{p}{q})+E(\frac{2p}{q})+...+E(\frac{(q-1)p}{q})=E(\frac{p}{q})+E(2\frac{p}{q})+...+E(p-2\frac{p}{q})+E(p-\frac{p}{q})

Donc: 3$\rm\fbox{\Bigsum_{k=1}^{q-1}E(k.\frac{p}{q})=E(\frac{p}{q})+E(2\frac{p}{q})+...+E(p-2\frac{p}{q})+E(p-\frac{p}{q})\\\Bigsum_{k=1}^{q-1}E(k.\frac{p}{q})=E(p-\frac{p}{q})+E(p-2\frac{p}{q})+...+E(2\frac{p}{q})+E(\frac{p}{q})}

D'où:

3$\rm\fbox{2\Bigsum_{k=1}^{q-1}E(k.\frac{p}{q})=p+E(\frac{p}{q})+E(-\frac{p}{q})+p+E(2\frac{p}{q})+E(-2\frac{p}{q})+...+p+E(\frac{q-1}{p})+E(\frac{1-q}{p})=(-1)(q-1)+p(q-1)=(p-1)(q-1)}

On peut conclure que: 3$\rm\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^{q-1}E(k.\frac{p}{q})=(-1)(q-1)+p(q-1)=\frac{(p-1)(q-1)}{2}}

Posté par
gui_toure : Somme de partie entière! 10-11-07 à 18:11

Trèèès Joli 3$\LaTeX Momo

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Somme de partie entière! 10-11-07 à 18:12

Merci guigui

Posté par
infophilere : Somme de partie entière! 10-11-07 à 18:13

Le successeur d'ehlor

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Somme de partie entière! 10-11-07 à 18:16

oui dans mes rêves


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