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Niveau Maths sup
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Somme de Riemann

Posté par
shelzy01 09-08-07 à 16:39

Bonjour à tous, alors voilà j'ai un problème en ce qui concerne la somme de Riemann, en faîte je ne sais pas du tout comment on procède, pouvez-vous m'expliquer avec ces 2 exemples, ce serai super sympas, merci d'avance

                n-2
1) lim 1/n² (k² - k)
  n+00   k=0
(k² - k est sous la racine)


                 n     -k/n
2) lim 1/n² ke
  n+00  k=1

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 17:00

Bonjour shelzy01

En pratique, il faut essayer de mettre ces sommes sous la forme \Large{\frac{1}{n}\bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})} où f est continue sur [0,1].
Lorsque n tend vers l'infini, le théorème sur les sommes de Riemann nous dit que cela tend vers \Large{\bigint_{0}^{1}f(t)dt}

sinon :
La 1) peut se résoudre sans utiliser les sommes de riemann (en fait, cette somme n'est pas exactement une somme de Riemann). Bref, essaye d'encadrer cette somme.

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 17:24

Bonjour Kaiser, donc pour la 1), au début k on l'encadre par quoi ,je pense qu'il est positif, car il s'agit d'une racine, donc:
0 k n-2

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 17:31

Non, cet encadrement est beaucoup trop brutal.
le but de l'encadrement est en fait de se débarrasser de la racine pour obtenir deux sommes que tu pourras calculer explicitement.

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 17:36

comme par exemple:
k-1 (k² - k) k

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 17:48

exactement !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 18:38

ensuite je trouve:
      n-2
1/n² k - 1
      k=0  

      n-2
1/n² (k² - k)
      k=0

      n-2
1/n² k
      k=0

est ce ça ? (ça me semble bizarre )

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 18:46

eh bien, oui c'est ça !

Tu as l'air surpris(e) !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 18:59

je corrige :

tu as l'air surpris !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:00

non, plus maintenant, je suis entrain de le faire après je te montre

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:01

OK !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:05

ensuite je fais:
             n-2                 n-2
lim  1/n² k-1= lim 1/n k-1/n
n+00  k=0      n+k=0

maintenant pour calculer cette limite, il faut faire l'intégrale !!

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:16

non, car tu peux calculer cette somme explicitement !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:17

comment

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:20

ça te dit quelque chose "la somme des n premiers entiers naturels" ?

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:22

oui, j'en ai déjà entendu parlé, mais je ne m'en rappelle plus exactement

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:24

en faite c'est de 0 à plus l'infini!

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:29

Citation :
oui, j'en ai déjà entendu parlé, mais je ne m'en rappelle plus exactement


Dans ce cas, voici une petite piqûre de rappel !
si p est un entier naturel, alors :

\Large{\bigsum_{k=0}^{p}k=\frac{p(p+1)}{2}}

Citation :
en faite c'est de 0 à plus l'infini!


non, ce n'est pas possible !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:37

c'est bien ce que je me disai , mais je ne vois pas trop le rapport, il faut sûrement bidouiller un peu l'encadrement avec la somme des n premiers entiers naturels, mais je ne vois pas du tout

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:38

je ne vois pas comment je peux procéder

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:41

pour les deux sommes, tu dois calculer \Large{\bigsum_{k=0}^{n-2}k} ce que tu peux faire en utilisant la formule de mon message de 19h29 avec p=n-2.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:42

ensuite, il y a du théorème des gendarmes dans l'air !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:43

ok

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:55

est-ce que je suis sur le bon chemin!!  
     n-2
1/n² k - 1= 1/n² ([(n-2)(n-2+1)/2] - 1)
       k=0

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 19:58

c'est presque ça ! (ce n'est pas -1 mais \Large{-\frac{1}{n}} car il est sommé n fois).

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:02

je ne comprends pas mon erreur, car c'est k-1, donc je remplace k par la somme de 19h29 et je rajoute -1

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:06

non :

\Large{\bigsum_{k=0}^{n-2}(k-1)=\bigsum_{k=0}^{n-2}k-\bigsum_{k=0}^{n-2}1}

et \Large{\bigsum_{k=0}^{n-2}1=n-1} (tu sommes n-1 fois le chiffre 1)

(D'ailleurs, j'avais dit que ça ferait \Large{-\frac{1}{n}} mais en fait, ça fait plutôt \Large{-\frac{n-1}{n}})

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:07

euh pardon, ça fait plutôt \Large{-\frac{n-1}{n^{2}}}

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:14

j'ai compris mon erreur, je n'avais pas développé:
mais je ne comprends pas comment on somme n-1 fois le chiffre 1 (désolès) je n'ai jamais fait ça auparavant , pour moi la somme d'un nombre c'est le nombre lui-même.

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:15

pourrai tu me détailler tes calcules, je te remercie d'avance c'est

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:26

\Large{\bigsum_{k=0}^{n-2}1=1+1+...+1} (n-1 fois le chiffre 1)

ou alors si tu veux, on peux poser \Large{u_{k}=1} pour tout k.
Alors \Large{\bigsum_{k=0}^{n-2}1=\bigsum_{k=0}^{n-2}u_{k}=u_{0}+u_{1}+...+u_{n-2}=1+1+..+1}

dans cette dernière somme, il y a exactement n-1 fois le chiffre 1 ce qui fait donc n-1.
Est-ce clair ?

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:30

Ah d'accord donc si j'ai bien compris, après tu multiplies n-1 avec 1/n², et on trouve -(n-1)/2 !!
Et ensuite je fais le calcul !

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:32

On trouve plutôt \Large{-\frac{n-1}{n^{2}}} (faute de frappe ? )

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:34

oui c'est ça, merci pour le détail, je suis bête, j'étais complètement à l'ouest

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:36

ensuite je fait:

(n-2)(n-1)/2n²  -  n-1/n² = n²-5n+3/2n²

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:37

Mettons ça sur le compte des vacances !
Bref, pour le calcul de la limite, c'est OK ensuite ?

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:38

oui je trouve 1/2 c'est ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:39

ce n'est pas 3 mais 4 (mais bon ça n'a pas d'incidence sur le résultat final).
Sinon, ce n'était pas la peine de réduire le tout au même dénominateur : la limite se calcule tout aussi bien sans)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:40

oui, c'est bien ça ! et par encadrement, la limite recherchée est aussi 1/2.

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:44

ok, sinon pour la 2), je vais là faire demain et je te montrerai mon résultat, sinon merci encore , pour cette limite c'est sympas, tu as raison on peut mettre ceci sur le compte des vacances , bonne soirée et merci encore

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 09-08-07 à 20:46

OK ! Bonne soirée à toi aussi !

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 10-08-07 à 14:56

Bonjour Kaiser

Alors voilà mes réponses pour la 2).
            n     -k/n
lim 1/n² ke
n+ k=1

              n        -k/n
=lim 1/n   k/n e
n+   k=1


       1     -x     -1
  x e = -2e + 1
       0
                              -x           -x                  
avec: u=x, u'=1, v'= e, et  v= -e

est-ce le bon résultat et ai-je bien utilisé le théorème de Riemann
merci pour la réponse que j'attends avec impatience

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:12

Bonjour shelzy01,

Kaiser n'étant pas connecté pour le moment, je 'aide alors

avant d'appliquer la somme de Riemann, il faut t'assurer que la fonction que t'as trouvée est soit strictement monotone soit dérivable avec une dérivée bornée (sur [0,1] en général)...


Tu veux calculer: 3$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\Bigsum_{k=1}^nke^{\frac{-k}{n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n\frac{k}{n}e^{\frac{-k}{n}}

Tu considères alors la fonction xe^{-x}

TOut ça tu l'as bien fait

mais pour dire que la limite est équivalente à: 3$\Bigint_0^1xe^{-x}dx

il faut s'assurer de l'une des conditions que je t'ai citées dessus

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:31

Bonjour monrow
alors voilà je pense que xe^{-x} n'est pas strictement monotone, alors ai-je faux !!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:49

Bonjour à tous

Citation :
avant d'appliquer la somme de Riemann, il faut t'assurer que la fonction que t'as trouvée est soit strictement monotone soit dérivable avec une dérivée bornée (sur [0,1] en général)...


monrow > non, c'est faux ! la continuité de f sur le segment suffit largement ! (pas besoin d'hypothèse de monotonie)

Kaiser

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:52

Mais alors ai-je trouvé le bon résultat pour la 2).??

Posté par
shelzy01re : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:53

voir 15h12

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme de Riemann 10-08-07 à 15:59

shelzy01 > si tu as bien écrit \Large{-2e^{-1}+1}, alors oui, c'est correct !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Somme de Riemann 10-08-07 à 16:02

Salut shelzy01

Oui ton résultat est correct

On a bien :

\rm \Large{\fbox{\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2}.\sum_{k=1}^{n} k.e^{-\frac{k}{n}} = \Bigint_{0}^{1} x.e^{-x} dx = 1 - \frac{2}{e}}

Posté par
lyonnaisre : Somme de Riemann 10-08-07 à 16:03

Salut kaiser

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