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Somme de Riemann

Posté par
AnneDu60 01-04-17 à 13:43

Bonjour !

On me demande de déterminer la lim[1/(sqrt(n)*n)*1kn(sqrt(k+n))]
J'utilise la proprité suivante (et j'injecte le 1/sqrt(n) dans la somme)
lim[(b-a)/n1kn(f(a+k*(b-a)/n))=1x2(f(x)dx)
en remplaçant par : a=1 et b=2
mais que vaut la fonction f ?

Posté par
jsvdbre : Somme de Riemann 01-04-17 à 14:19

Bonjour AnneDu60.

Comme \frac{1}{n\sqrt n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{k+n}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}.

En passant à la limite tu trouves Lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n\sqrt n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{k+n}} = \int_{0}^{1}{\sqrt{1+x}}dx

Posté par
AnneDu60re : Somme de Riemann 01-04-17 à 18:14

Je comprend pas

Utilisons la formule de cours :
lim((b-a)/n)1kn(f(a+k*(b-a)/n)=aà b de f(x)dx
En transformant l'expression de départ on obtient :
(1/n)*1knsqrt(1+k/n)
En identifiant a et b on voit que :
le "1" de 1/n est egal à b-a donc b-a=1 . De plus, on voit que dans la racine le "1" de 1+k/n est egal à a donc a=1 et donc b=2 . Ainsi les bornes de l'intégrale sont de 1 à 2 .. où est mon erreur ?  

Posté par
jsvdbre : Somme de Riemann 01-04-17 à 18:40

tu peux aussi écrire

Lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n\sqrt n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{k+n}} = \int_{0}^{1}{\sqrt{1+x}}dx  = \int_{1}^{2}{\sqrt{x}}.dx

si tu veux ... ça change rien.

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann 01-04-17 à 18:45

salut

Citation :
Je comprend pas

Utilisons la formule de cours : ...

arrête d'utiliser des formules comme une machine et pense un peu ...

révise tes formules avec la racine carrée et relis la première ligne du premier msg de jsvdb ... puis seulement vérifie que ça colle à la formule !!!

Posté par
AnneDu60re : Somme de Riemann 01-04-17 à 19:04

Je compris la formule rien n'est mécanique, par contre je comprenais pas (et je ne comprend toujours pas) pourquoi prendre les bornes 0 et 1 au lieu de 1 et 2 même si on obtient le même résultat.
En gros j'aimerai bien que quelqu'un m'explique le 1er message de jsvdb (la 2ème ligne)

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann 01-04-17 à 21:11

lorsque k varie entre 1 et n alors 1 + k/n est une subdivision de l'intervalle [1, 2] ....

Posté par
jsvdbre : Somme de Riemann 01-04-17 à 21:35

Bon, reprenons les choses simplement.
Supposons que tu aies un fonction g définie et continue sur [0,1].
Tu cherches son intégrale par la méthode des rectangles à pas constants.
Tu découpes donc [0,1] en n intervalles de longueur 1/n à l'aide des n points x_k=k/n pour k \in \{1,...,n\}.
Sur chaque intervalle [x_k-1/n;x_k}] tu approximes f par sa valeur en x_k.
De par la continuité de g on montre que la sommes des rectangles ainsi obtenus tend vers l'intégrale de g sur [0,1].

Or, chaque rectangle a pour surface \frac{1}{n}*g(x_k).

Il s'ensuit que \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}*g(\frac{k}{n})}=\int_{0}^{1}{g(x).dx}

Application à g(x) = \sqrt{1+x}

On a  \int_{0}^{1}{ \sqrt{1+x}.dx}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}

Après, si tu veux, tu fais le changement de variable.


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