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Somme de Riemann, de Cauchy ?

Posté par
Aalex00 02-02-20 à 17:48

Bonjour,

Bon tout est dans le titre. Je me demande si une somme de Riemann permettant de définir une intégrale est de Cauchy (je parle de la suite des sommes partielles) ?
J'ai essayé de le montrer (avec une subdivision uniforme) mais en vain ..

Voila une formalisation de ma question (définition Wikipédia : ) :
Soit f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}  une fonction définie en tout point du segment [a , b]. On se donne une subdivision marquée \sigma = (a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b ; t_i \in [x_{i - 1}, x_i ] pour i = 1,\cdots , n). La somme de Riemann de f sur [a , b] liée à \sigma est définie par :
{\displaystyle S(f,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i}).}
Si le pas de la subdivision \sigma tend vers zéro, alors la somme de Riemann générale converge vers \int _{a}^{b}f(t)dt.

Merci de votre aide.

Posté par
lionel52re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:02

Hello! Si une suite converge elle est de Cauchy donc...

Posté par
Aalex00re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:13

Bonjour, oui bien sur mais je souhaite le montrer avec la définition d'une suite de Cauchy.
En fait admettons que je me place sur \mathbb{Q} qui n'est pas complet, ce que tu avances devient faux.

Le but de cette réflexion est de montrer que la complétude est nécessaire à la définition d'une intégrale.

Posté par
Foxdevilre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:17

Bonjour,

Citation :
Le but de cette réflexion est de montrer que la complétude est nécessaire à la définition d'une intégrale.
Comme de n'importe quelle notion avec des limites. Cette complétion est incluse dans le "à valeur dans IR" de la définition de ta fonction...

Citation :
En fait admettons que je me place sur \mathbb{Q}
Qu'est-ce que ça signifierait exactement?

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:47

Aalex00 @ 02-02-2020 à 18:13

En fait admettons que je me place sur \mathbb{Q} qui n'est pas complet, ce que tu avances devient faux.
il n'en reste pas moins qu'une suite de Cauchy ... est de Cauchy ... que l'espace soit complet ou non ...

Posté par
Aalex00re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:55

Bonjour Foxdevil,

Foxdevil @ 02-02-2020 à 18:17

Qu'est-ce que ça signifierait exactement?


J'ai remis la définition de Wikipedia pour mieux visualiser de quoi on parle. Ce que je veut dire c'est admettons que f soit à valeur dans \mathbb{Q} ou même dans un espace vectoriel normé, comment montrer que la suite des sommes partielles est de Cauchy ?

Ensuite pour que l'intégrale soit bien définit il faut se donner l'hypothèse que l'espace d'arrivé de f est complet sans quoi notre suite de Cauchy n'aurait aucun raison de converger..

Je cherche à établir la nécessité de complétude de l'espace d'arrivé pour définir la notion d'intégrale. Et pour cela je souhaite montrer que la suite des sommes partielles de Riemann est de Cauchy. Peut-être que mon raisonnement n'est pas clair mais sinon voyez vous une manière de montrer que pour définir une intégrale on a besoin de complétude (sachant que je considère au pire des espaces vectoriels normés) ?

Posté par
Foxdevilre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 18:58

carpediem a déjà répondu (en grande partie) à ton message.

Posté par
Aalex00re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 19:32

Je ne vois toujours pas ..

Si on suppose l'espace d'arrivé non complet, la définition nous donne cette suite des sommes partielles de Riemann mais pas que

Citation :
alors la somme de Riemann générale converge vers \int _{a}^{b}f(t)dt


Donc on a pas d'indication sur une éventuelle convergence. On ne peut pas non plus dire qu'une suite des sommes partielles est de Cauchy (je pense à la somme des 1/n par exemple).

En disant "une suite de Cauchy ... est de Cauchy ...", je suppose que cela signifie que le résultat est (presque ?) direct, mais je ne vois pas

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 20:30

sif est une fonction réelle peut-être faudrait-il comprendre que \int_a^b f(t)dt est un nombre réel !!

que tes sommes de Riemann soient des rationnels ou pas elles convergeront vers ce nombre ...

un exemple classique la suite de Héron ou de Syracuse (voir sur le net)

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 20:39

Aalex00 @ 02-02-2020 à 19:32

En disant "une suite de Cauchy ... est de Cauchy ...", je suppose que cela signifie que le résultat est (presque ?) direct, mais je ne vois pas


pour n entier et h > 0 posons S(n, h) = \sum_1^n f(t_i)(x_i - x_{i - 1}) avec x_i - x_{i - 1}

on se donne un réel e > 0

montre qu'il existe un entier N et un réel H tels que : \forall  p > 0  q > 0  0 < h < H  0 < k < H   :  |S(p, h) - S(q,k)| < e

PS : démontrer qu'une suite est de Cauchy est indépendant de l'existence d'une éventuelle limite ...

Posté par
verdurinre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 02-02-20 à 21:21

Bonsoir,
il n'est pas évident qu'une fonction définie sur un intervalle [a;b] soit Riemann-intrégrable.
En général c'est faux.

Je me demande si la sous-jacente question n'est pas :
Soit f une fonction de [a;b] dans R Riemann-intrégrable.
On suppose que si x est rationnel alors f(x) est rationnel.
Peut-on dire que l'intégrale de a à b de f est un rationnel ?

Posté par
etniopalre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 00:34

Les  " sommes de Riemann "  ne forment pas une suite de réels .

Pour fabriquer une suite de  Riemann  il faut  
un entier n  > 0   ,
une  n-"subdivision  " de [a , b]  càd un élément de  s =  ( s0 , s1,...., sn )  de  [a , b]n+1 tel que a = s0 < s1  ....< sn < b
un élément t =   (t 1 , t2,...., tn )   de [a , b]n tel que  tk [sk-1 ,  sk] pour tout k  .

On considère alors S(n,s,t)  := {\displaystyle  \sum _{i=1}^{n}(s_{i}-s_{i-1})f(t_{i}).} .

Pour chaque entier  n le réel qu'on fabrique ainsi dépend de s et t qui changent ( pas trop n'importe comment quand même) quand on fait bouger n .
Il n'est donc pas question de parler de "suite " ( de Cauchy ou de qui que ce soit !)"

Posté par
Aalex00re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 18:09

Bonjour,

Je ne sais plus trop quoi penser au vu de tout cela. Mais ce que etniopal avance me semble juste.

Mais dans ce cas, comment montrer que l'intégrale (au sens de Riemann) d'une fonction à valeur dans un espace vectoriel normé (pour généraliser) est bien définie si ce dernier est complet (ie, un Banach), tout cela sans pouvoir parler de suite de Cauchy avec les sommes de Riemann ?

C'était là mon but derrière ma première question. Si vous avez des documents ou références sur le sujet, je suis preneur.

Merci de votre aide.

Posté par
Foxdevilre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 18:26

Citation :
Pour chaque entier  n le réel qu'on fabrique ainsi dépend de s et t qui changent ( pas trop n'importe comment quand même) quand on fait bouger n .
Il n'est donc pas question de parler de "suite " ( de Cauchy ou de qui que ce soit !)"
En effet, j'avais répondu avec à l'esprit une subdivision régulière, ce qui n'était en effet pas précisé.

Avec cette précision, la question prend bien du sens du coup....

Posté par
Foxdevilre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 19:30

Citation :
Mais dans ce cas, comment montrer que l'intégrale (au sens de Riemann) d'une fonction à valeur dans un espace vectoriel normé (pour généraliser) est bien définie si ce dernier est complet (ie, un Banach), tout cela sans pouvoir parler de suite de Cauchy avec les sommes de Riemann ?

C'était là mon but derrière ma première question. Si vous avez des documents ou références sur le sujet, je suis preneur.

Tu trouveras ton bonheur ici

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 19:34

effectivement on a plutôt une famille infini de réels indexées par n, (s_i) et (t_i)

mais ce que j'ai dit reste valable : en reprenant les notation de etniopal

pour n entier et h > 0 posons S(n, h) = \sum_1^n f(t_i)(x_i - x_{i - 1}) avec x_i - x_{i - 1} \red \le h

on se donne un réel e > 0

montre qu'il existe un entier N et un réel H tels que : \forall  p > 0  q > 0  0 < h < H  0 < k < H   :  |S(p, h, s(h), t) - S(q,k, s(k), t')| < e

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 19:35

pardon : j'ai oublié la fin :

et s(n, h, s(h), t) tend vers un réel quand n tend vers l'infini !!

Posté par
Foxdevilre : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 19:46

Citation :
Pour chaque entier  n le réel qu'on fabrique ainsi dépend de s et t qui changent ( pas trop n'importe comment quand même) quand on fait bouger n .
Il n'est donc pas question de parler de "suite " ( de Cauchy ou de qui que ce soit !)"


Et dit en passant, la notion de "de Cauchy" se généralise à autre chose que des suites:

On peut donc simplement remplacer "suite" par famille

Posté par
Aalex00re : Somme de Riemann, de Cauchy ? 03-02-20 à 21:34

Ok merci à tous pour votre aide, j'ai trouvé mon bonheur.
Pour ceux qui voudraient creuser un peu, le 1er lien de Foxdevil est vraiment intéressant.


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