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somme de série

Posté par spoky (invité) 20-11-05 à 15:06

bonjour,

justifier l'existence de la somme de la série suivante et la calculer:

x appartenant à ]-pi,pi], sum( (-1)^n * (cos(nx)/(1+n^2)) de n=1 à +infini

merci

Posté par
kaiser Moderateurre : somme de série 20-11-05 à 15:30

Bonjour Spoky

Pour l'existence, il suffit de remarquer que le terme général est un o(1/(n3/2)).
Pour le calcul, ça me semble un peu bizarre qu'on donne ça déjà en sup. En effet, la méthode que j'ai en tête serait plutôt une méthode de spé.
Tu es bien en sup, non ?

Kaiser

Posté par spoky (invité)re : somme de série 24-11-05 à 11:51

non je suis en spé, peux tu me montrer ta méthode.
merci

Posté par
kaiser Moderateurre : somme de série 24-11-05 à 19:50

Bonsoir Spoky

Il faut que tu utilises le développement en série de Fourier de la fonction 2-périodique qui coïncide avec l'exponentielle sur [-,[. Ensuite, applique le théorème de Dirichlet.

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : somme de série 25-11-05 à 00:50

Bonsoir;
En développant en série de Fourier la fonction 3$2\pi périodique dont la restriction à 3$[-\pi,\pi] coincide avec la fonction cosinus hyperbolique qui est continue et 3$C^1 par morceaux on trouve que:
5$\red\fbox{(\forall x\in[-\pi,\pi])\\\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}cos(nx)}{1+n^2}=\frac{\frac{\pi}{sh(\pi)}ch(x)-1}{2}}
en particulier on a que 5$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2}=\frac{\frac{\pi}{th(\pi)}-1}{2}\\\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}=\frac{\frac{\pi}{sh(\pi)}-1}{2}}

Sauf erreurs bien entendu


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