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Somme de séries et inégalité

Posté par Eos (invité) 15-10-05 à 16:45

Bonjour tout le monde,

Voilà, à un DM à rendre, j'ai un problème dans une question. J'ai beau la tourner dans tous les sens, je n'arrive à rien, ou plutôt, je trouve des choses INUTILES!!

Voilà le sujet:

On pose Sn=\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}, Rn= \Bigsum_{k=n+1}^\infty~\frac{1}{k^3} et S=\Bigsum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k^3}

On a prouvé avant que \forall k \in \mathbb{N}* \frac{1}{(k+1)^3} \le \frac{1}{2k^2} - \frac{1}{2(k+1)^2} \le \frac{1}{k^3}

On nous demande de calculer ensuite \Bigsum_{k=n}^\infty~(\frac{1}{2k^2} - \frac{1}{2(k+1)^2})

Là j'ai trouvé S - \Bigsum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^3} (sauf erreur)

La question problématique c'est Rn\le \frac{1}{2n^2}

Je sais qu'il faut utiliser ce que l'on a prouvé avant, mais le probleme c'est que je n'arrive pas à tomber sur ce que je veux et ça m'énerve! Car ça se voit qu'il faut utiliser la somme et l'inégalité!

La question qui suit étant Etablir de même \frac{1}{2(n+1)^2} \leRn

Voilà.

Merci d'avance.

Eos

Posté par darwyn (invité)re : Somme de séries et inégalité 15-10-05 à 20:36

En regardant bien la somme des (1/2k^2-1/2(k+1)^2), on remarque qu'elle se simplifie terme à terme...
Avec ça tu devrais y arriver.

Posté par Eos (invité)Merci 16-10-05 à 09:29

Salut,

Effectivement, je n'y avais pas pensé.

Merci beaucoup.

Eos


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