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somme de termes d'une suite

Posté par cosette974 (invité) 28-09-07 à 17:30

bonjour!

On me demande de justifier l'existence et de donner le valeur de la somme des n=1 jusqu'à l'infini de n(1/2)^n
Merci de votre aide.

PS: Désolé pour cette écriture un peu barbare mais ej ne connait pas le cadoge ..! :s

Posté par
fusionfroidere : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 17:39

Salut ^^

Où bloques-tu ?

Tu as vu les séries ?

Posté par cosette974 (invité)somme de termes d'un suite 28-09-07 à 17:45

Ben en fait j'étais pas le jour où ils ont fait le cours en classe, mais j'ai vu ca un peu l'an passé.
J'ai une formule pour nq^(n-1) dans un cour qu'on m'a donné mais pour celui la je vois pas vraiment . En fait c'est surtout le n qui ma gêne ...

Posté par
fusionfroidere : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 17:52

Donc 3$u_n=\Bigsum_{n=1}^{\infty} n(\frac{1}{2})^n

Pour montrer que cette série est définie, il faut montrer qu'elle converge...

Déjà, on remarque que le terme général tend vers 0

Ensuite, tu peux remarquer que 3$n(\frac{1}{2})^n=n exp{-nln(2)}=o(\frac{1}{n^2})

car 3$\lim_{n \to \infty} n^3exp{-nln2}=0

Posté par cosette974 (invité)somme de termes d'une suite 28-09-07 à 17:59

Je n'ai pas tout à fait saisi à partir de la 4ème ligne ... :s

Posté par
fusionfroidere : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 18:00

Est-ce que tu as vu les petits o ?

Posté par cosette974 (invité)re: somme de termes d'une suite 28-09-07 à 18:02

les petits o ...?!!
euh non !

Posté par
fusionfroidere : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 18:06

bon hoquet !

Oublie la quatrième ligne.

On a : 3$\lim_{n \to \infty} n^2\times n exp{-nln2}=0

Donc à partir d'un certain rang n_0, on a : 3$n(\frac{1}{2})^n \le \frac{1}{n^2}

Tu vois comment conclure ?

Posté par cosette974 (invité)somme de termes d'une suite 28-09-07 à 18:09

je vois pas pourquoi on multiplie par n² (3ème ligne)

Posté par
fusionfroidere : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 18:20

pour avoir la majoration que j'ai donné.

Ainsi, on peut comparer ta série avec une série de Riemman

D'où la convergence de la sérié et donc elle est bien définie.

Posté par cosette974 (invité)re: somme de termes d'un suite 28-09-07 à 18:42

houla oui d'accord .. ben en fait j'ai pas vu les série de type série de Riemman ...
C'est la seule méthode pour montrer que cette suite existe ?

Posté par
totomathre : somme de termes d'une suite 28-09-07 à 19:08

salut,

tu peux faire ainsi :
pour x différent de 1 :
\bigsum_{n=0}^N x^n = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}
on dérive par rapport à x, on a :
\bigsum_{n=1}^N nx^{n-1} = derivee \frac{1-x^{N+1}}{1-x}
donc, en multipliant par x :
\bigsum_{n=1}^N nx^{n} = x. derivee\frac{1-x^{N+1}}{1-x}

Pour x entre 0 et 1, et en particulier pour x = 1/2, lorsque n tend vers l'infini ces limites existent , tu peux les calculer

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre: somme de termes d'une suite. 28-09-07 à 19:11

Bonjour ;

Pour \fbox{x\neq1} on sait que \fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}} d'où par dérivation \fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}}

pour \fbox{x=\frac{1}{2}} on a 3$\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}=2(\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}+1)} (sauf erreur)


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