Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Somme des 1/[n(n+1)(n+2)]

Posté par
Samarinke 22-11-15 à 17:34

Bonjour,
je dois trouver la limite de cette somme : 1/[n(n+1)(n+2)]

J'ai décomposé cette expression en 1/2k - 1/(k+1) + 1/2(k+2) mais je ne vois pas apparaître de télescopage... Pourriez-vous me dire comment faire ?

Merci

Posté par
mdr_nonre : Somme des 1/[n(n+1)(n+2)] 22-11-15 à 17:53

bonsoir : )

pour voir le télescope il faut changer les indices des sommes...

Posté par
mdr_nonre : Somme des 1/[n(n+1)(n+2)] 22-11-15 à 18:20

\large \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} \\ \\ = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}- \frac{2}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} \\ \\ = \frac{1}{2}\left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k + 2} - 2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k + 1} \right ) \\ \\ = \frac{1}{2}\left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} + \sum_{k=3}^{n + 2}\frac{1}{k} - 2\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} \right ) \\ \\ = \frac{1}{2}\left [ \left ( 1 + \frac{1}{2} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} \right ) + \left ( \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} \right ) - 2\left ( \frac{1}{2} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k} + \frac{1}{n +1} \right ) \right ] \\ \\ = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} \right ) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4}

Posté par
Samarinkere : Somme des 1/[n(n+1)(n+2)] 22-11-15 à 18:24

Ok merci beaucoup, je n'en demandais pas tant !

Posté par
mdr_nonre : Somme des 1/[n(n+1)(n+2)] 22-11-15 à 18:40

de rien : ) bonne continuation : )


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !