Si tu as à ta disposition la notion de série entière, c'est immédiat : suivre le lien

Ok, merci de ton aide dhalte

Par contre, comment traduire ça sur ma feuille...

C'est un principe qu'on a pas (encore) vu.

N'y a-t-il pas un autre moyen de trouver la limite sachant que les 2 suites sont adjacentes ?

bonjour
le developpement limité de e^x te donne
si on pose
alors 0
et tu as ton resultat

Désolé mais je n'ai absolument rien compris

Cela dit, merci de t'être intéressé à ce topic

selon la formule de taylors ave reste integral,le DLn de e^x donne
avec

desole  sous l'integrale c'es plutot

Mais j'ai pas vu tout ça moi

Pour nous, le reste des DL, c'est (o(xⁿ))

On y est pas encore à ce chapitre

Merci de la solution mais je pense qu'il y un truc tout bête (pas forcément plus simple) que je n'arrive pas à trouver !

Bonjour

Si tu n'as aucune des methodes que l'on te signale, je ne crois pas que tu puisses démontrer que la limite est e rien qu'en regardant ta suite.

On peut (pas très facile) montrer que ta suite a la même limite que la suite et pour celle-ci, tu peux montrer qu'elle tend vers e en prenant le logarithme.

bon si tu peux montres que a meme limite que tu peux en suite lu donner la limite de que tu peux caluler en remarquant que est equivalent à :

Récapitulons :

-(x_n) est croissante
-(y_n) est décroissante et y_n = x_n + (1/n!)
-ces suites sont adjacentes et ont donc la même limite, on me demande de la calculer.

On sait que c'est e, reste à le prouver avec des méthodes de mon niveau

excuse moi camelia  j'ecrivais mon message lorsque tu envoyais le tien

Bon, on en arrive au même point... Sans rien de plus, je ne crois pas que tu puisses que la limite est e (d'accord avec ). D'abord, quelle est da définition de e?

Ben la constante e, exp(1) = 2,71828...

Alors je ne sais pas... à moins de truander sur le du DL, mais ce n'est pas à recommander!

Bon, merci quand même de votre aide, si un jour j'ai la réponse, je vous la ferai parvenir

En effet, j'aimerais bien voir d'où sort e sans aucune connaissance prealable!

bonjour
en effet il ya une resolution qui si on pose :
et on peut montrer aisement que et conclure avec la limite de
essaie et si tu seche signale le nous je te guiderai

Oui, je sais, je l'ai suggéré aussi, mais je doute qu'un prof espère qu'un étudiant l'inventera!

je crois que oui et finalement l'exercice n'a pas de solution ds ces condition

Sinon, la formule de taylor avec reste intégral n'est qu'une bête intégration par partie itérer, elle n'est pas difficile à obtenir si on en à bessoin...

et si e est définie comme etant exp(1), qu'elle est ta définition de l'exponentiel (parceque la définition usuelle de exp, c'est justement somme des x^n/n!...) ?

J'ai pas de définition précise

e c'est e et voilà, c'est la réciproque du log aussi.

C'est pas la définition de e qui va me faire avancer

Je vais essayer de faire ce qu'ont dit milton et Camelia

"C'est pas la définition de e qui va me faire avancer " >>> Ba si justement... pour montrer que quelque chose vaut e, encore faut-il savoir ce qu'est e...
et si ton exo te fait d'abord montrer que ca converge en utilisant une suite adjacente (ce qui n'est en soit pas tres difficile) pour ensuite de demander de calculer la limite sans indication c'est peut-etre qu'il y a quelque chose d'evident avec ta définition de l'exponentiel... parce ce que ca serait bizzard de d'abord te guider sur quelque chose de facile pour ensuite te laisser inventer tous seul des methodes compliqué (comme introduire (1+1/n)^n ou encore inventer la formule de taylor avec reste intégral...)


enfin, personellement je trouve que en partant de rien, le plus simple est encore de faire ca :
introduit la suite Un= intégral de 0 à 1 de exp(t)(t-1)^n /n! dt

montre (intégration par parttie en dérivant exp et en intégrant (t-1)^n) que
Un=U(n+1) - 1/(n+1)!

montre que Uo=e-1 et donc, par récurence sur n, Un=e-1-1/2-..-1/n!=e-Xn

il ne te reste plus qu'à montrer que Un->0 et pour cela ecrit que Un< e.intégral de  (1-t)^n/n! = e/(n+1)!

d'ou le résultat...

  =  

=

Je suis dans la bonne voie ?

Ksilver, pour ta méthode je trouve :

U_n =   

Oui escuse, moi, c'est une petite faute de frape :
il fallait prendre :

Un= intégral de 0 à 1 de exp(t)(1-t)^n /n! dt

Ah ok

Je vais réessayer mais un peu plus tard, A+

Alors je trouve que :

U_n =

= - U_(n+1)

Cette fois ci c'est une petit erreur de calcule dans ton ipp, on trouve bien Un=U(n+1) +1/(n+1)!

Euh... Un=U(n+1)-1/(n+1)!... enfin comme je l'avait dit au débuut quoi.

quand on intégre (1-t)^n on trouve -(1-t)^(n+1)/(n+1) (à cause du -t )

Décidément, je n'arrive pas à trouver la même chose...

Pour moi U_n=U_(n+1)+ 1/(n+1)!

Où est-ce que j'ai encore pu me tromper ?

Mais non! Ecris les premiers termes!

Reprend le calcule calemement et tu va y arriver : ce n'est qu'une bête intégration par partie !

U₀ = e-1
U₁ = U₀ + 1/1! = e - 1 + 1 = e
U₂ = U₁ + 1/2! = e + 1/2
U₃ = U₂ + 1/3! = e + 1/2 + 1/6
...

Maintenant, si comme je l'ai trouvé, U_(n+1) = U_n- 1/(n+1)!
alors on a :

U₀ = e-1
U₁ = U₀ - 1/1! = e - 1 - 1
U₂ = U₁ - 1/2! = e - 1 - 1 - 1/2
U₃ = U₂ - 1/3! = e - 1 - 1 - 1/2 - 1/6

Et là ça collerait mieux, non ?

U(n+1) = Un- 1/(n+1)!

C'EST FAUX!!

Oups ^^


oui tu as raison Foreverson.

tu arrive à terminer l'exo avec ca ? (il ne te reste plus qu'a montrer que Un->0 ce qui ce fait en majorant l'exponentielle par e... )

Je verrai plus tard pour continuer, j'attendais une confirmation d'abord

A+

Bon, j'essaye de m'y remettre.

Il faut donc que je montre que U_n tend vers 0.

Salut !

ecrit que exp(t) est plus petit que e quand t est entre 0 et 1, et calcule l'intégrale en ayant remplacer l'exponentielle par 'e', et tu va trouver un truc qui tend vers 0...

=

Or,

donc

De plus, = = 0

On applique le théorème des gendarmes (ou encadrements), et on montre donc que lim (U_n) = 0 quand n +

Maintenant, comment dire rigoureusement que 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ... + 1/n! e ?

euh la je comprend pas ton problème :S

tu as montré que Un->0 et que Un=e-1-1/2!-1/3!-..1/n!

donc e-1-1/2!-1/3!-..1/n!->0

ce qui signifie que 1+1/2+1/3!+...+1/n! tend vers e

enfin quand ta une suite Un dire que Un tend vers L ou Un-L tend vers 0 c'est pareil !

Oui, ça je le sais

Mon problème était de marquer tout ça rigoureusement, car je ne pense pas qu'on ait réellement montré que Un = e-1-1/2!-1/3!-..1/n!, on a juste émis une hypothèse qui se vérifie sur les premiers termes.

Je suppose que ça doit pouvoir se prouver par récurrence.

Ok, c'est prouvé par récurrence

Merci à tous de votre aide, je posterai la solution du prof quand je l'aurai !

J'ai la solution du prof

x +
c_x,n ]0,x[ tq

e^x = 1 + x/1! + x²/2! + ... + xⁿ/n! +( xⁿ⁺¹ /(n+1)! ) exp⁽ⁿ⁺¹⁾ (c_x,n)

On applique à x=1

On obtient

e - (1 + x/1! + x/2! + ... + 1/n!) = e^c_n /(n+1)!

|e-x_n| = e^c_n /(n+1)! e/(n+1)! 0 quand n+

D'où x_n e quand n+

Voili voilou

Je préfère la solution des intégrales quand même

Bonsoir !

c'est certe plus simple, on te l'aurais probablement sugéré si tu avais pas dit "Pour nous, le reste des DL, c'est (o(x^n))"

enfin, c'est pas tres grave : la methode que je t'ai montré consiste enfait à reprouver la formule dite de "Taylor-lagrange" (ou encore formule de taylor avec reste intégral) qui sert entre autre à prouver la formule que ton prof à utilisé. donc au final c'est plus ou moins  la meme methode (d'ailleur, c'est la meme inégalité qu'on obtiens à la fin)