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somme directe
Bonjour à tous,
Je voudrais m'assurer que ce que j'ai écrit est correct, sachant que je n'ai pas exactement traité l'exercice dans le sens de ce qui était attendu... Je voudrais juste savoir si ça marche.
u: IR^3--> IR^3
b base canonique de IR3
(u)=
( 1 1 1
1 1 1
1 1 1 )
On me demande de prouver que IR^3 = Im (u) + ker(u) en somme directe
on a 0 
keru
Imu
soit vkeruImu
On a u(v)=0
il existe wIR^3 tel que u(w)=v
u(u(w))=0
donc w ker (u^2)
or on a toujours ker(u^2) inclus dans ker(u)
donc w ker(u)
v=0
et keruImu={0}
Est-ce que ça marche? Je ne continue pas...
or on a toujours ker(u^2) inclus dans ker(u)
Non c'est faux on a plutot
Pour revenir à l'exercice si on note la base canonique de
on voit bien d'aprés la matrice de
que:
donc
qui sont bien en somme directe.
Sauf erreurs...
Et mince, je me doutais bien que le problème était là. Effectivement maintenant que tu le dis ça me paraît logique...
Merci à toi. 
Si tu ne t'en souviens plus, prend des matrices nilpotentes.
Elles sont non nulles, mais une de leur puissance l'est, donc Ker(u) n'est pas l'ensemble de départ au complet, mais ker(u^n) l'est, c'est donc que ker(u^i) est une suite croissante t'inclusion. (en fait pas nécessairement, mais je pars du fait que l'on sait qu'elle est croissante ou décroissante, et on se rappelait plus dans quel sens c'était)
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