Niveau Maths sup

Somme directe d espaces engendrés

Posté par GProd (invité) 13-03-05 à 12:35

Bonjour !
J'ai un petit problème, voici l'énoncé :
Dans R₃[X], déterminer un supplémentaire de F = Vect(1 , X-2). On note G un tel supplémentaire.

Voici le début de ma réflexion : on sait que si F et G sont en somme directe dans R₃[X], alors : dim(R₃[X]) = dim(F) + dim(G)
Je dois donc choisir G de dimension 2.
J'ai posé G = Vect(X² , X³).
Je souhaite prouver que F inter G = {0}
C'est là que j'ai un problème ! Quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance !

Posté par re : Somme directe d espaces engendrés 13-03-05 à 16:13

C'est bon.

un polynôme $P$ appartenant à $F\cap G$ serait tel que

$\left{ \array{P & = & a_1.1+a_2(X-1) \\P & = & b_1.X^2+b_2X^3}$
c'est-à-dire
$0= -a_1.1-a_2(X-1) + b_1.X^2+b_2X^3$
$0= (-a_1+a_2).1-a_2 X + b_1.X^2+b_2X^3$
Le polynôme nul a tous ses coefficients nuls donc
$\left{ \array{0 & = & -a_1+a_2\\ 0 & = & -a_2 \\0 & = & b_1\\ 0 & = &b_2}$ ou encore $a_1=a_2=b_1=b_2=0$ ou encore $P=0$
$F\cap G=\{0\}$

Posté par GProd (invité)re : Somme directe d espaces engendrés 13-03-05 à 18:02

Merci beaucoup Franz, j'ai très bien compris ! Finalement, c'était pas si compliqué !!

Posté par re : Somme directe d espaces engendrés 13-03-05 à 22:17

Non. Bon courage pour la suite.

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