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Niveau Maths sup
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Somme directe, projecteur

Posté par
Taiga
01-04-17 à 11:21

Bonjour  

Citation :
Voici la consigne:

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. f et g sont deux endomorphismes de E tel que:
E=Im(f)+ Im(g) = Ker(f) + Ker(g)

Montrer que ces sommes sont directes.


Voici ce que j'ai fait:

Traitons par étape:
a) E=Im(f) + Im(g)

Soit x1' Im(f)   et soit y1' Im(g)

Donc f(x1)= x1'           et              f(y1)=y1'

Donc E=f(x1) + f(y1) = x1'+ y1'

b) E=Ker(f) + Ker(g)

Soit x2 Ker(f)    et y2 Ker(g)

Donc: f(x2)=0     et      f(y2)=0

Conclusion:
E= f(x1)+ f(y1) = f(x2)+f(y2)

=> x1' + y1'=0
=> x1' = -y1'

Donc  x1' =0    et     y1'=0  par unicité donc fg={0}

Donc on peut dire que les sommes sont directes.

Qu'en pensez vous ??
Merci d'avance

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 11:30

Re: il y a la correction mais je n'ai pas  tout compris. (c'est sur le livre les 400 exercices de maths à faire et à refaire, de Guy Goulet)

Il utilise la formule des 4 dimensions (ou de Grassman)

En posant
n=dim(Imf + Img)=dim(Imf) + dim(Img) -dim(Imf Img)

n=dim(Kerf + Kerg)=dim(Kerf) + dim(Kerg) -dim(Kerf Kerg)

Il addition les 2 valeurs de n et il obtient:

2n=2n- dim(Imf Img) -dim(Kerf Kerg)

j'ai pas compris pourquoi on a 2n= dim(Imf) + dim(Img) +dim(Kerf) + dim(Kerg) et après le reste de la correction j'ai compris.

Merci d'avance pour vos explications.

Ps: Est-ce que ma méthode (le 1re post) est quand même bonne?

Posté par
carpediem
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 11:47

salut

premier post : je ne comprends pas ta conclusion ...

deuxième post :

Citation :
j'ai pas compris pourquoi on a 2n= dim(Imf) + dim(Img) +dim(Kerf) + dim(Kerg)
connais-tu le théorème du rang ?

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 11:58

Citation :
connais-tu le théorème du rang ?


Ah, c'est vrai je n'y ai pas pensé. Merci

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 12:02

Citation :
premier post : je ne comprends pas ta conclusion ...


Eh bien pour montrer qu'une somme est directe, il faut montrer qu'elle est supplémentaire et que l'intersection de deux éléments est nulle.

Vu que j'ai  trouvé x1' et y1' nulles j'en ai déduit que l'intersection de ces deux valeurs est nulle et donc que c'est une somme directe.

Posté par
carpediem
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 15:54

je ne comprends toujours pas pourquoi x'_1 et y'_1 sont nuls

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 16:02

Si tu comprends toujours pas, ça veut dire que mon raisonnement n'est pas correct.
Je vais  refaire mon calcul

Posté par
luzak
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 16:35

Bonjour !
Refais ton calcul mais surtout n'écris pas ça :

Citation :
Conclusion:
E= f(x1)+ f(y1) = f(x2)+f(y2)

E est un espace et f(x_1)+f(y_1) est un élément de E...

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 17:01

Bonjour luzak,
:-/ Pourquoi, je peux pas dire cela?
La consigne dit que Im(f)+Im(g)=E , pourtant Im(f) et Im(g) sont des éléments de E, donc la somme l'est aussi. Pareil pour Ker.

En gros, tu veux dire que j'ai pas démontré que E est inclus dans la somme de Im. (et pareil pour Ker), c'est ça?

Posté par
carpediem
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 18:42

Citation :
pourtant Im(f) et Im(g) sont des éléments de E

ben non !!!

revois la définition de Im f ...

Posté par
Taiga
re : Somme directe, projecteur 01-04-17 à 19:31

///
Soit:

x Im f

=> il existe y E tel que f(y)=x

///



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