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Somme double

Posté par
juliensl 25-10-13 à 16:11

Bonjour! =)
Je ne comprends absolument rien au sommes double, du coup j'essaie de faire des exercices easy, mais je n'y arrive pas... :'(

Je dois calculer:

Sn= (i+j)
      1ijn

J'ai trouvé:
Sn= ((n(n+1))/2) * (1+0,5n) * (n(n+1)(2n+1))/6

C'est juste ?.... =)

Posté par
flightre : Somme double 25-10-13 à 16:27

salut

on calcul ((i +j ) )  en fixant la variable j et en faisant varier i de 1 à n dans la

seconde somme , puis ensuite on fait varier j de 1 à n

Posté par
gggg1234re : Somme double 25-10-13 à 17:06

Pour cet exo, il faut visualiser, engros, tu sommes sur le nombre de poitns sur un demi triangle (diagonale incluse) ddans un carré n*n

l'idée est de "fixer" une des variables:

somme(i+j) (j fixé, i allant de 1 à j, i étant donc la variable de sommation)
c'est la somme des j entiers allant de 1+j à 2j, ça vaut j(1+j+2j)/2

et ensuite on somme çà, j allant de 1 à n

somme(j(1+j+2j)/2)=
(1/2)somme(j)+(3/2)somme(j²) j allant de 1 à n)

sauf erreur sur les indices .
mais le principe st là

en tout cas ton raisonnement est faux, il ne peux pas y avoir tant d emultiplication. le resultat n'est pas en n^7

Posté par
gggg1234re : Somme double 25-10-13 à 17:07

flight, faux : i varie de 1 à j

Posté par
iciparisonziemere : Somme double 25-10-13 à 17:19

Tu remarqueras que lorsque j est fixé entre 1 et n,  i varie de 1 à j.

Bref :

   Sn = somme ( somme ( i+j , i = 1 .. j ) , j = 1 .. n )

Je calcule la somme la plus imbriquée :

somme ( i+j , i = 1 .. j ) = somme ( i , i = 1 .. j ) + somme ( j , i = 1 .. j ) = j ( j + 1) /2 +  j2  = ( 3 j2 +  j ) /2

Ensuite :

2 Sn  = somme ( 3 j2 + j , j = 1 .. n ) = n( n + 1 )( 2n + 1 )/2 + n( n + 1 )/2 = n( n + 1 ) ( 2n + 1 + 1) /2 = n( n + 1 )2

D'où :

Sn = n( n + 1 )2 /2

C'est ça, non ?

Posté par
iciparisonziemere : Somme double 25-10-13 à 17:58

Je vais écrire cela avec les belles formules :

S_n = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j (i+j)

Je calcule la somme la plus imbriquée :

\sum_{i=1}^j (i+j) = \sum_{i=1}^j i + \sum_{i=1}^j j = \frac{j(j+1)}{2} + j^2 = (3 j^2 + j) /2

Ensuite :

2S_n = \sum_{j=1}^n (3 j^2 + j ) = \frac{n(n+1)(2n+1))}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1 +1))}{2} = n(n+1)^2  

S_n = \frac{n(n+1)^2}{2}

Posté par
alb12re : Somme double 25-10-13 à 18:17

et puis si on a un doute on peut coller dans la console ici la commande

factoriser(somme(somme(j+k,j,1,k),k,1,n))

Posté par
julienslre : Somme double 25-10-13 à 18:49

Merci ! "iciparisonzieme" !
J'ai réussi à le refaire tout seul après n_n (et le mieux c'est que je l'ai compris )
Merci aussi aux autres


Maintenant sur celle là:

(j parmi i)  (je sais pas comment on fait le symbole >< comme ça ?)        (i)
1i,jn                                                                                                    (j)

J'écris la somme double, j'utilise la formule du binôme et à la fin je trouve égal à -2+4n, j'ai juste? (pour une fois xD)

Merci beaucoup encore!

Posté par
iciparisonziemere : Somme double 25-10-13 à 19:50

Voyons voir ce que tu dis. Si j'ai bien compris, on calcule ceci :
S_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}

Je calcule la somme la plus imbriquée.

Il faut noter que \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} vaut 0 si j est strictement supérieur à i.

Bref :

\sum_{j=1}^n \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} = \sum_{j=1}^i \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} = -1 +\sum_{j=0}^i \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} = -1 + 2^i

Il reste à calculer ceci :

S_n = \sum_{i=1}^n (-1 + 2^i)

Cette mignonne petite somme vaut :

S_n = -n + 2^{n+1} -2


Il faut faire parfois prêter une attention aux indices :

\sum_{k=1}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} x^k y^{n-k} = -y^n +\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} x^k y^{n-k} =  (x+y)^n-y^n

Posté par
iciparisonziemere : Somme double 25-10-13 à 19:51

Tu feras attention la prochaine fois. Vorsicht !!!

Posté par
julienslre : Somme double 25-10-13 à 20:46

Mais quel âne!!! è__é

Je recommence, merci beaucoup ! =)

Posté par
iciparisonziemere : Somme double 25-10-13 à 21:52

Essaie celle-ci :

\sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n Min( i , j )

(je ne connais pas la réponse)


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