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somme et denombrmeent

Posté par
charly007 23-09-07 à 10:10

bonjour je n'arrive pas à calculer cette somme

nk=1   1/(k+1) (n parmis k  )

voila je sais aps comment proceder, j'ai chercher tout ce we et c'est à rendre pour demain

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 10:14


J'EDITE MON MESSAGE JE ME SUIS TROMPE : k=0 et non k=1

bonjour je n'arrive pas à calculer cette somme

nk=0  1/(k+1) (n parmis k  )

voila je sais aps comment proceder, j'ai chercher tout ce we et c'est à rendre pour demain

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 10:53

Bonjour

Alors une idée comme ça :

3$\rm P'(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)x^{k}
On a alors :
3$\rm P(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}\(n\\k\}x^{k+1}
D'où 3$\rm \Bigsum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}\(n\\k\)=P(1)
Or :
3$\rm P'(x)=(1+x)^{n}
D'où 3$\rm P(x)=\frac{1}{n+1}(1+x)^{n+1}+C
Donc 3$\rm P(1)=\frac{2^{n}}{n+1}+C

Pour déterminer la constante on regarde le premier terme de la suite.

Posté par
jeansebre : somme et denombrmeent 23-09-07 à 11:21

Bonjour

Dans l'écriture de P(1) tout à la fin, n'est-ce pas plutôt 2 n+1 ?

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 11:24

Si, étourderie effectivement, merci jeanseb

Posté par
jeansebre : somme et denombrmeent 23-09-07 à 11:48

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 11:59

eu ej n'ai aps compris le debut pourquoi remplacer 1/k+1   par k
dasn l'exo on demande de calculer cette somme mais je vois pas trop le but , je suis assez confus sur tout sa ..
merci pour vos reponses

Posté par
jeansebre : somme et denombrmeent 23-09-07 à 13:20

Parce que 1/(k+1) a la tête d'un dénominateur obtenu par une intégration de xk qui donne x(k+1)/(k+1)qui, lorsque tu remplaces x par la valeur 1 donne 1/(k+1).

Donc Nightmare part du polynome P'(X) qui contient des xk,et dont on sait par ailleurs d'après la formule du binome de Newton qu'il est égal à (1+x)n. Ensuite il remplace x par 1, pour obtenir exactement la somme que tu cherches (sauf qu'il n'a pas tenu compte du n qui est au début, mais c'est pas grave, tu le rajoutes au bon endroit).

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 19:29

eu j'ai essayé de trouver une autre methode plus facile a comprendre masi je trouve pas

je pense pas que ce soit la seule methode , enfin jesperep ar parceque j'ai passé la journée dessus sans pouvoir comprendre

Quelqun peut  il m'aider
merci d'avance

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:02

je up en desesperant devant cette sommes incomprehensible :s

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:02

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette méthode elle est pourtant simple??

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:39

pourquoi passer par la derivé p'(x) je ne savait pas qu'une somme se derive ,

on recherche a faire sortir la formule du binome  de newton ?

merci pour vos eclaircissments

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:42

Oui c'est ça.

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:45

Merci j'y vois déjà un peux mieux
Mais une question me tracasse vraiment,
Pourquoi être passé par le dérivé et comment j'aurais pu y penser. ? Est un automatisme dans un type de calcul ?

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:46

Jeanseb a bien expliqué. On veut faire apparaitre 1/(k+1), or on sait que ça c'est simplement 1/(k+1) * x^(k+1) avec x=1.

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:48

ok , mais n'a t on pas initialement  1 / k+1 dans l'expression

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:49

Si mais j'expliquais pourquoi prendre 3$\rm P'(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} \(n\\k\)x^{k}

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:51

on passe de P'(x) à P(x) seulment en integrant la formule .. ?

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:51

Oui.

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 20:54

Bon tres bien , c'est un peu plus clair , je vais essayer de refaire sa et voir si j'ai compris
je vous remercie pour votre patience
merci

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:02

Si tu as compris, est-ce que tu peux par exemple calculer 3$\rm \Bigsum_{0\le k\le n} C_{n}^{k} k?

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:17

Bon je suis désolé mais je ne comprend pas l'ensemble de la demarche,
j'ai passé une journée sur mon DM je crois que je vais abandoner et laisser un blanc pour cet exo
j'essaierai de comprendre demain , tampi

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:22

En fait ce n'est pas dûr, l'idée c'est d'introduire un polynôme (appelé polynôme générateur) qui, en une valeur particulière nous permet de retrouver notre somme.

Dans mon exemple, on a du k... Comment on peut retrouver du k avec un polynôme? On sait que la dérivée d'un truc du style 3$\rm x^{k} ça va nous donner 3$\rm kx^{k-1}. Youpi! Si on prend x=1 on retrouve notre k.

Bon ben on rédige tout ça.

On pose 3$\rm P(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}
Si l'on dérive 3$\rm P'(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} kx^{k-1}
Notre somme vaut donc 3$\rm P'(1)
Sauf que P(x) ça se factorise avec Newton et on a rapidement 3$\rm P(x)=(1+x)^{n} donc 3$\rm P'(x)=n(1+x)^{n-1} et finalement 3$\rm P'(1)=S=n.2^{n-1}

Compris?

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:26

eu
pourquoi on sait que p'(x)=1
Pourquoi là vous factoriser p(x) alors que dans l'autre somme vous factoriser sur p'x)
merci

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:27

la derivé de  1/(k+1)  du type  1/u qui fasi -u/u²  donc moi je trouve -1/(k+1)²

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:27

Quand est-ce que j'ai dit que p'(x) était égal à 1 ?

Ben dans le premier j'ai primitivé et dans celui là dériver mais la méthode est la même. Le but c'est de trouver un polynôme factorisable par Newton et avec lequel on peut retrouver notre somme (en dérivant, en primitivant ou autre).

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:29

"Notre somme vaut donc p'(1)" juste car on prend x=1 pour retrouvze notre formule ?

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:34

Ben oui.

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:35

oui je comprend ( petit à petit  :s ) mais pourquoi dans ma somme j'ai 1/ k+1 et sa primitive ne fais pas x^k  car  j'ai pas  x^k+1 :k+1 ...

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:36

Quel est la dérivée de 3$\rm x\to \frac{1}{k+1} x^{k+1} ?

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:39

x^k

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:41

Voila !

Donc on voit bien qu'une primitive de 3$\rm x\to x^{k} c'est 3$\rm x\to \frac{1}{k+1}x^{k+1} et en prenant x=1 on a bien 1/(k+1) ce qu'il nous fallait.

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:42

oui exact je viens de saisir
eu je vais travailler sa et je vais voir

merci

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:43

De rien.

Bon courage pour la suite.

Posté par
Nightmarere : somme et denombrmeent 23-09-07 à 21:43

En fait, quel est ton niveau d'étude? Ton profil indique "1ère".

Posté par
charly007re : somme et denombrmeent 23-09-07 à 22:59

je vous rmercie j'ai bien compris à present mais je compte m'entrainer sur d'autre exemple demain ..
inon je m'avais inscrit lorsque j'etais en 1ere à present je suis en ecs 1 ( prepa commerciale option scientifique) voila
je tiens à vous remercier pour votre patience
merci de votre aide
bonne din de soirée


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