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Somme et séries de Riemann
Bonjour, je dois faire un DM de maths pour ma rentrée en spé et je bloque sur un exercice (ou du moins, j'ai répondues aux questions pour qu'au final, le résultat soit incohérent).
Voilà l'énoncé:
Soit 𝛼 ≥ 0. On considère la série numérique 𝑘≥1 ∑𝑘^𝛼 et ses sommes partielles 𝑆𝑛 = (k=1 à n)∑𝑘^𝛼, définies pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗.
1. La série numérique 𝑘≥1 ∑𝑘^𝛼 converge‑t‑elle ? Pourquoi ?
2. On cherche un équivalent de 𝑆𝑛 quand 𝑛 tend vers +∞.
a. Écrire 𝑆𝑛/𝑛^(𝛼+1) comme une somme de Riemann, pour tout
𝑛 ∈ ℕ∗.
b. Déterminer lim 𝑛→+∞ 𝑆𝑛/𝑛^(𝛼+1).
c. En déduire l'équivalent recherché.
3. Vérifier cet équivalent pour 𝛼 ∈ {0,1,2}
Mes réponses:
1. J'explique que avec 1/k^-𝛼 ça devient une série de Riemann et donc car 0≥-𝛼, la série ne converge pas
2.a. Je développe 𝑆𝑛/n^𝛼=(1/n)x[(k=1 à n)∑(k/n)^𝛼
b. J'utilise le fait qu'il s'agisse d'une somme de Riemann avec f(x)=x^𝛼 pour déduire que
lim 𝑛→+∞ 𝑆𝑛/𝑛^(𝛼+1)=intégrale de 0 à 1 de t^𝛼 dt=1/𝛼+1 (Là, ma première hypothèse d'erreur est que je suis sensé changer les bornes de la série pour pouvoir la changer en intégrale)
c. 𝑆𝑛/𝑛^(𝛼+1) équivalent en +infini à 1/𝛼+1
Deuxième doûte, composition à gauche (je suis pas sûre que ça soit correct mais ça me semble logique):
Je déduis: 𝑆𝑛 équivalent en +infini à n^(𝛼+1)/𝛼+1
3. Avec 𝛼=0, ça fonctionne, mais pas avec 1...
Merci à quiconque essaiera de me donner des pistes!
1) Plus simplement, ne tend pas vers zéro quand
, donc la série diverge
2)a) et 2)b) Tout est correct. Tu peux ajouter ou retirer autant de termes que tu veux à ta somme sans changer la limite, tant que ce nombre est négligeable devant n.
2)c) C'est le bon équivalent mais deux choses. D'abord est équivalent au membre de droite seulement parce que sa limite est non nulle. Si la limite était zéro, l'équivalent serait faux, la seule fonction équivalente à 0 étant la fonction nulle.
Et deuxièmement, il ne s'agit pas d'une compostion à gauche, mais simplement d'un produit par un équivalent positif deux deux côtés, ce qui est licite. Si u,v,w,z sont des suites positives à partir d'un certain rang tq et
alors
est vrai, car
.
3) Pourquoi ça fonctionnerait pas avec ?
est correct
Et pour 2 aussi puisque
Et pour 3 aussi puisque
Y'a pas d'os tout va bien 
Oui, autant pour moi, je voulais dire , n².
Merci de votre réponse, je n'avais just pas réalisée qu'il y avait équivalence en +infini entre n²/2 et n²+n/2 même si ça semble évident en y réfléchissant.
Je m'&tais moi même convaincu que le résultat devait être exactement le même de manière littérale et n'ai par conséquent pas réfléchit à ce que signifiait réellement ce que j'écrivait!
Bonne soirée à vous et encore merci!
De rien 
Attention aussi à tes parenthèses, je vois que tu fais souvent l'erreur d'écrire 1/α+1, qui signifie et non
Par exemple dans ton avant-dernier message est équivalent à
alors que
est équivalent à
Oui, je pensais juste qu'étant donné le contexte, les parenthèse n'étaient pas nécessaires vu que je reprenais ce que vous aviez dit.
Pour les fois d'avant, c'est juste qu'il s'agit de copié-collés de mon énoncé sauf que c'est écrit en équation et que j'ai dut l'adapter en texte
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