L'astuce classique pour faire apparaître une somme d'exponentielles complexes avec progression géométrique est d'introduire la somme analogue que tu peux appeler Sn(h) avec les sinus et de former Cn(h)+i.Sn(h) .

Merci pour ta réponse.
Il est vrai que l'on peut utiliser cette approche. Le calcul est long et on arrive à une formule qui donne la somme de la partie réelle  et imaginaire.
Mais je me demandais s'il existait une approche moins lourde en relation avec les valeurs particulières de h

Bonjour,

on peut en effet remarquer que



d'où par téléscopage



et ainsi si on a

qui s'écrit aussi

pour les valeurs particulières : ou , on vérifie facilement que et donc , d'où

et _{sauf erreur bien entendu}

merci pour cette belle démonstration qui ne passe pas par les exponentielles complexes.

Mais
- est-elle vraiment moins lourde ?
- elle nécessite aussi une astuce qu'on peut trouver un peu artificielle.
Comparer diverses solutions est néanmoins toujours enrichissant.

est ce quelqu'un pourrait m'aider sur la démonstration en passant par les exponentielles complexes
Merci

Que veux-tu de plus que le message de boninmi le 14-02-15 à 17:17 ?

cos(jh)+i.sin(jh)=e^jh=(e^h)^j
et on utilise la formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique (de raison q=e^h ici).

merci boninmi et Robot

en effet on arrive à :

Cn(h) + i Sn(h) = (e^(n+1)h-e^h)/ (e^h-1)

le problème c'est quand je reviens en notation trigo et que je cherche à séparer la partie imaginaire de la partie réelle.
je multiplie par la quantité conjuguée au dénominateur quant au numérateur je me perds dans les calculs...

Faudrait pas laisser tomber le (l'écriture de boninmi est aussi fautive) !

Bonsoir,

grâce au coup de pouce de Robot j'ai pu trouver que

Cn(h)  =

je pense que c'est correct même si cela ne ressemble pas au résultat de elhor_abdelali . merci de confirmer/infirmer

Une question pour Robot, d'où vient l'idée de cette mise en facteur dans le terme à droite de l'égalité



Le terme mis en facteur est la moyenne des termes des 2 exponentielles du numerateur

est ce une astuce liée à ce problème ou est ce une approche  plus générale ?

Merci pour votre aide à tous.

J'avais été confronté à cet exercice en 1977 et je n'avais pas trouvé à l'époque...

C'est un coup classique, et qui se comprend bien quand on réalise qu'on est en train de faire la somme ou la différence de deux complexes de module 1, représentés sur le ce'rcle trigonométrique : un petit dessin montre qu'il est naturel de passer par l'argument de la bissectrice, et qu'on récupère le double d'un cosinus ou d'un sinus de la moitié de la différence des arguments. En résumé : fais un dessin !

Ok j'ai compris

Je retiendrai la démarche

et merci !

Avec plaisir.