Inscription / Connexion Nouveau Sujet
somme infinie
Bonjour à tous,
ma question va être un peu tordue mais j'espère me faire comprendre. Je souhaite calculer la somme infinie des termes
∞
∑ 2^(-n)
(n=0)
autrement dit la convergence de cette suite, le soucis est que nous n'avons pas encore étudier la convergence de suite et j'aimerais trouver une méthode grâce à des outils préalablement acquis.
En cherchant un peu je suis tomber sur des méthodes nommées sommation mais je ne les ai pas très bien saisi.
Je sais déjà que la somme sera égale à 2, mais je n'arrive pas à le démontrer, une indication serait la bienvenue.
Merci d'avance.
Oui mais tu connais la formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique.
applique la et fais tendre n vers l'infini après.
Bonjour,
Tu peux déjà remarquer que :
!
Tu souhaites calculer : .
Que peux-tu dire de cette somme, qu'as-t-elle en particulier ?
En effet, si notre ami aurait remarqué que 2^-n pouvait aussi s'écrire 1/2^n, il aurait d'emblée su que cette suite était géométrique... 
Glapionfenamat84
Pardon..je viens de remarquer que je n'avais pas bien taper 
en fait mon énoncer dit n.2^-n je suis vraiment désolé pour cette erreur
ma suite n'est ainsi pas géométrique
ça va être plus compliqué. on te demande vraiment ça en première sans te donner aucune indication ?
il va d'abord falloir trouver la formule qui est :
et qui n'est pas facile à trouver. si l'énoncé te la donne tu peux la démontrer par récurrence par exemple.
et ça, ça tend vers 2.
Glapion[ Je vois L'énoncée a été donné sec sans rien d'autre à démontrer à part la somme, en fait c'est un peu dévié du programme et juste une incitation à travailler. Merci infiniment en tout cas 
n/2^n tend vers 0 (croissance comparée entre l'exponentielle et n)
1/2^(n-1) aussi
mais de toute façon le gros souci c'est de démontrer la formule.
Donc l'astuce pour trouver la formule c'est de poser
P(X) = 
Xk
c'est une somme de termes d'une suite géométrique donc = (1-Xn+1)/(1-X)
on dérive des deux cotés ce qui va donner à gauche
k Xk-1 (jusqu'à n-1) et à droite il faut dériver aussi.
et puis tu multiplies par X et tu rajoutes le 1 qui manque
et enfin tu fais X = 1/2
Glapion
pour être honnête j'ai du mal à comprendre 
mes connaissances pour l'instant se limite aux limites de fonction mais pas de l'exponentielle et pour ce qui est de dérivés, nous n'avons pas encore aborder ce chapitre.
J'apprécie vraiment votre aide mais n'y aurait-il pas d'autres outils pour arriver à la démonstration recherchée ?
salut
s est donc solution d'une équation du premier degré à une inconnue qui se résout au collège ....
bien entendu si tu recopies cela sur ta copie ton prof te traitera de tricheuse ...
on peut noter que pour a = 1/2 on a exactement ... étonnant non ...
je n'aurais pas pensé trouver la limite comme ça.c'est une idée assez classique : ajouter (ou soustraire) 1 (ou autre) au coefficient n pour créer un décalage d'indice et multiplier par (la puissance convenable de) la raison pour obtenir à nouveau s avec un indiçage différent ...
... éventuellement à une constante près : les valeurs aux "bords" de la somme s (ici la somme étant infinie il n'y a pas de variation pour la borne supérieure mais si ça avait été oui) et il n'y a pas non plus de variation en 0 ... car le premier terme est nul : 0 * a^0 = 0
dans la philosophie c'est un peu la même chose qu'un changement de variable ...
d'ailleurs ici je l'ai fait dans le cas de la méthode générale
on peut faire ainsi pour toute les séries où P est un polynome en n où on écrit :
avec k constante de bord
puis on développe et on fait apparaitre s .. mais ça peut devenir très vite fastidieux suivant le polynome P
en fait tout le pb est de connaitre les polynomes tels que
(polynome "classique" que l'on trouve pour calculer la somme des puissances k-ièmes des entiers
ici on a beaucoup plus simple puisque P(n) = n et on aurait même pu écrire très simplement :
ha voila l'idée classique : 
Sommes des (-1)^k * k et k allant 1 à n
...
Annuler
connectez vous