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Somme inverses factorielles

Posté par
Mykado 14-09-16 à 21:26

Bonjour,
je travaille à un exercice où on étudie la suite définie par :
Un = 1+1/1!+...+1/n!

Et on me demande à un moment de montrer que Un peut s'écrire sous la forme an/n! avec an un entier.
Et je ne vois pas du tout comment faire

Votre aide serait la bienvenue.
Merci par avance

Posté par
tuxedo95re : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 21:34

Salut est-ce que tu as vu la formule de Taylor et les développements limités ?

Posté par
jsvdbre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 21:38

bonsoir Mykado

N'as-tu jamais additionner des fractions  ?

Posté par
DOMOREAre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 21:56

bonsoir,
Il me semble que pour la limite si la question est posée tu auras besoin de e^x

Posté par
jsvdbre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 22:18

Simplement :

U_n = \dfrac {\sum_{p=0}^{n}{\prod_{i=1}^{n-p}{p+i}}}{n!}

d'où en posant a_n = {\sum_{p=0}^{n}{\prod_{i=1}^{n-p}{p+i}}}

On a U_n = \dfrac {a_n}{n!}

Posté par
carpediemre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 23:05

salut

u_n = \dfrac 1 {0!} + \dfrac 1 {1!} + \dfrac 1 {2!} + ... + \dfrac 1 {n!}  = \sum_0^n \dfrac 1 {k!} = \sum_0^n \dfrac {\dfrac {n!}{k!}}{n!} = \dfrac {\sum_0^n \dfrac {n!}{k!}}{n!} = \dfrac N {n!}

N est un entier comme somme d'entiers ...

Posté par
jsvdbre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 23:27

Donc on en déduit, avec mon grand art de la plus parfaite simplicité, n'est-ce-pas ! que :

a_n = \sum_{0}^{n}{\dfrac{n!}{k!}} = {\sum_{p=0}^{n}{\prod_{i=1}^{n-p}{p+i}}}   

Simple math is always the best. It's high time to find a paradise island

Posté par
carpediemre : Somme inverses factorielles 14-09-16 à 23:39

tu remarqueras que je n'utilise que la simple règle de collège : \dfrac 1 a = \dfrac {\dfrac b a} b en multipliant numérateur et dénominateur par \dfrac b a

et évidemment puisque n! est multiple de k! pour tout k =< n c'est donc un entier ...

Posté par
jsvdbre : Somme inverses factorielles 15-09-16 à 00:45

carpediem @ 14-09-2016 à 23:39

tu remarqueras que je n'utilise que la simple règle de collège


D'où ma remarque, la plus pertinente du monde

jsvdb @ 14-09-2016 à 23:27

avec mon grand art de la plus parfaite simplicité, n'est-ce-pas ! :


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