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Somme inversion d'indice

Posté par
Ader 10-11-16 à 20:12

Bonsoir tout le monde,

Dans un exercice on cherche à inverser une somme S=\sum_{k=p}^{q}{a_{k}} en se ramenant à une somme indexée de 0 à q-p.

Comment procède-t-on ?

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 10-11-16 à 20:39

salut

faire le changement d'indice i = k - p ...

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 10-11-16 à 21:20

j'ai mis i =q-p-k, je trouve ainsi S =\sum_{i=0}^{q-p}{a_{q-p-i}}

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 11-11-16 à 09:38



i = k - p

k = 0 => i = ... ?
k = q => i = ...?

i = k - p <=> k = ...  donc a_k = a_{... ?}

Posté par
etniopalre : Somme inversion d'indice 11-11-16 à 11:22

Ader
Ta formule est correcte mais ce n'est pas " une somme indexée de 0 à q-p " mais " une somme indexée de  q-p  à 0 "

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 11-11-16 à 12:22

S=\sum_{k=p}^{q}{a_{k}} = \sum_{k=0}^{q-p}{a_{k+p}}

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 14:19

carpediem @ 11-11-2016 à 09:38



i = k - p

k = 0 => i = ... ?
k = q => i = ...?

i = k - p <=> k = ...  donc a_k = a_{... ?}


Salut, je comprends pas le raisonnement, pour ma part j'utilise une formule i=n-k, mais je ne sais pas pourquoi ça ne marche pas sur la somme. A vrai dire j'ai vraiment du mal à comprendre la construction.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 14:32

Bonjour,

En ce qui me concerne, j'applique l'astuce suivante.

Tout d'abord présenter la somme de la façon suivante : S=\sum_{p\le k\le q}{a_{k}}

Faire le changement d'indice k=p+i, et remplacer "en bloc" dans la somme : S=\sum_{p\le p+i\le q}{a_{p+i}}

On ajuste la double-inégalité sous la somme : S=\sum_{0\le i\le q-p}{a_{p+i}}

... qui s'écrit plus traditionnellement S=\sum_{i=0}^{q-p}{a_{p+i}}

En d'autres termes, la présentation alternative de la somme (avec les indices uniquement en-dessous) permet de faire le changement d'indice en se posant moins de questions.

C'est ainsi que je procède. Mais chacun ses méthodes !

Nicolas

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:12

Salut Nicolas, c'est vraie que cette présentation de la somme m'est plus compréhensible.
Comment trouve-t-on la formule k=p+i ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:15

C'est la seule transformation simple qui permet d'obtenir le résultat souhaité.

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:28

Pour le voir, tu peux "éclater" ta somme avec des "..." : ce n'est pas rigoureux, mais ça permet de voir :

S=\sum_{k=p}^{q}{a_{k}} = a_p + a_{p+1} + a_{p+2} + a_{p+3} + ... + a_{q-1} + a_q

S=\sum_{k=p}^{q}{a_{k}} = a_{{\red 0}+p} + a_{{\red 1}+p} + a_{{\red 2}+p} + a_{{\red 3}+p} + ... + a_{{\red q-p-1}+p} + a_{{\red q-p}+p}

S=\sum_{i=0}^{q-p}{a_{i+p}}

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:29

Pour inverser cette même somme en une somme indexée de q à p sachant que p < q quel est le raisonnement qu'on doit effectuer pour trouver k ?

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:30

Au final, tu vois que k = i+p

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:41

Je vous remercie pour vos réponses détaillées, il faudrait que je fasse un exercice pour voir si j'ai vraiment bien compris.
Pourriez-vous m'en donner un ?

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:51

Montrer que la série harmonique n'est pas de Cauchy : S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 15:54

Mes excuses je n'ai pas encore vu Cauchy.

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 16:13

Alors, montres que pour tout p entier > 0, il existe q entier > p tel que S_q - S_p > 1

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 17:15

jsvdb @ 12-11-2016 à 16:13

Alors, montres que pour tout p entier > 0, il existe q entier > p tel que S_q - S_p > 1


Soit p et q deux entier strictement positif, tel que p<q.
On a \sum_{k=0}^{q}{a_{k}}=\sum_{k=0}^{p}{a_{k}}+\sum_{k=p}^{q}{a_{k}}\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{q}{a_{k}}-\sum_{k=0}^{p}{a_{k}}=\sum_{k=p}^{q}{a_{k}}>1

Posté par
jsvdbre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 17:27

Plus précisément :

\sum_{k=0}^{q}{a_{k}}=\sum_{k=0}^{p}{a_{k}}+\sum_{k={\red p+1}}}^{q}{a_{k}}\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{q}{a_{k}}-\sum_{k=0}^{p}{a_{k}}=\sum_{k={\red p +1}}^{q}{a_{k}}

Et justement, p étant donné > 1, montre qu'il existe q > p tel que \sum_{k={\red p +1}}^{q}{a_{k}} > 1 où a_k = \frac{1}{k}.

C'est une simple histoire de minoration.

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 12-11-16 à 17:48

Merci pour cet exercice et la correction. Cependant j'ai l'impression que cet exercice est dirigé plus sur le décalage d'indice que de l'inversion, et où je bloque vraiment c'est lorsqu'on affecte i lors de l'inversion d'indice. J'aimerais une explication claire sur cette affectation et comment on y procède.

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 13-11-16 à 14:31

carpediem @ 11-11-2016 à 09:38



i = k - p

k = 0 => i = ... ?
k = q => i = ...?

i = k - p <=> k = ...  donc a_k = a_{... ?}


Pourrais-je avoir un peu plus d'explication ?

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 13-11-16 à 15:46

i = f(k) = k - p

k = 0 => i = f(0) = -p

...

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 13-11-16 à 16:51

Comment trouve-t-on f(k) ? Y-a-il une formule ? Ou est-ce que je dois la trouver par un raisonnement ? Si oui quelle est la méthode ?

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 13-11-16 à 16:55

la fonction f c'est moi qui la pose !!!!

le changement de variable i = k - p correspond à la fonction affine f(k) = k - p

et comme k varie de p à q i = f(k) varie de ... à ...

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 13-11-16 à 21:47

carpediem @ 13-11-2016 à 16:55

la fonction f c'est moi qui la pose !!!!

le changement de variable i = k - p correspond à la fonction affine f(k) = k - p

et comme k varie de p à q i = f(k) varie de ... à ...


Quel a été le raisonnement qui vous a permis de poser ce changement de variable ?

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 14-11-16 à 18:22

j'ai simplement lu la question qui demande de passer de k = p, ..., q à k = 0 = p - p, ..., q - p

il me suffit donc de faire une translation de -p

Posté par
Aderre : Somme inversion d'indice 14-11-16 à 22:10

Merci pour tout, j'avais un doute sur cette étape, me voila rassuré.

Posté par
carpediemre : Somme inversion d'indice 15-11-16 à 15:26

PS : la translation de -p est suffisante parce qu'elle est bijective ...


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