Tu as 1/(k^2-1)= 1/[(k+1)(k-1)]

Le truc est de pouvoir separer les facteurs et donc d'ecrire ca sous la forme a/(k+1)+ b/(k-1) ( ca s'appelle une decomposition en elements simples , tu verras ca en detail plus tard dans l'annee)

Ce n'est pas tres complique de trouver a et b.

Ensuite tu vois qu'il y a telescopage  ( explicite les termes si tu veux)

Bonjour.

Dans le cas où est une fonction rationnelle de k, essaies de décomposer en éléments simples et de faire apparaitre la forme   ou la forme où p est un entier indépendant de k

Merci beaucoup pour vos réponses!

Malheureusement, j'ai du mal a trouver a et b :/ ...

Si je cherche a et b tels que 1/(k²-1)=a/(k+1)+b/(k-1), je résous a(k-1)+b(k+1)-1=0

Et je n'y arrive pas... Ca doit vous sembler débile mais je coince toujours...

Je peux avoir un autre indice ?

Mea culpa, je ne vois vraiment pas la réponse, ni les méthodes dont tu parles .
Je vois déjà que a et b doivent être de signe opposés pour faire sauter le k, mais je ne vois pas comment poursuivre cette décomposition...

La relation P(k)=a(k-1)+b(k+1)-1=0  doit être vérifiée pour tout k>1, P(k) est un polynôme de degré ??????. Il est identiquement nul si et seulement si tous ces coefficients sont nuls.

Les méthodes dont je parlais, tu les as déjà oubliées, la notion de décomposition en éléments simples ne t'est apparemment pas étrangère.

C'est la première fois que j'entends parler de décomposition en éléments simples, j'en ai simplement déduit l'équation à mettre en place, je ne connaissais pas le moins du monde cette méthode .

C'est un polynôme du premier degré, puisque la "plus grande puissance de k" est 1, on est bien d'accord?
Mais comment rendre les coefficients nuls?

Je précise que j'ai fait spé physique, et que le prof prend parfois pour acquis certains éléments de spé maths.

Merci d'avance!

J'ai peut-être oublié de préciser un truc important, le calcul est:

(k=2...n)1/(k²+1) et non pas (k=1...n)1/(k²+1)

Développes P(k) pour faire apparaître les différents monômes (et donc les coefficients).

Je trouve:

P(k):a(k-1)+b(k+1)-1=0
P(k):ak-k+bk+k-1=0
P(k):ak+bk-1=0
P(k):k(a+b)-1=0

Quelqu'un s'il vous plaît, j'aimerai vraiment comprendre cet exemple

qd tu developpes c'est plutot (a+b)k-a+b=1

T'identifies ensuite : a+b=0 et b-a=1

Normalement ca devrait aller...

Oh j'ai vraiment écris ça?
Le blaireau, j'avais bien développé sur mon brouillon en plus...

Je me retrouve donc avec

et

D'où

En factorisant par :



Sauf que je cherche quelque chose de la forme pour me servir de la somme télescopique...

Tout d'abord, la somme va de 2 a n.
Ensuite tu n'es pas oblige de te servir de cette formule toute faite : si t'explicite les termes, tu verras que ca peux se faire.

Mais sinon , si j'ecris que 1/(k-1)-1/(k+1)= -[1/(k+1)-1/k] -[1/k - 1/(k-1)] tu vois apparaitre la formule?

Oh c'est géant, merci beaucoup!
Qu'entends-tu par expliciter les termes? Les écrire avec des pointillés?
Je devais me servir de cette formule, c'était un exercice d'application.

Je retiens la méthode par laquelle tu transforme .

Plus qu'à rédiger tout ca!

Oui c'etait ca. les ecrire en pointille (avec de l'habitude on peut voir quels termes se telescopent assez rapidement). Ms faire comme tu fait est je pense plus sur

Bonsoir.

@ Vlam

J'avais faitplus haut la remarque qu'on pouvait avoir la forme ou la forme avec p entier indépendant de k (p2)
Si l'on pose , alors , on alors , on donc la 2ème forme avec .

Pour avoir la 1ère forme, il faudra manipuler un peu la somme .



En posant maintenant , alors   et on aura:

.