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Niveau Prepa (autre)
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Somme Télescopique

Posté par
Ciramor 28-07-20 à 21:57

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice de 1ère année de prépa, qui me demande de calculer la somme:

\Large \sum_{i=1}^n\frac{1}{cos a -cos((2i+1)a)}

J'ai d'abord cherché à simplifier le dénominateur à l'aide des formules trgonométriques:

cos a -cos ((2i+1)a) = cos a -cos(2ia)*cos a +sin(2ia) sin a
=cos(a)*(1-cos(2ia))+2sin(ia)*cos (ia)*sin a
=2cos(a)*sin^2(ia)+2sin(ia)*cos(ia)*sin(a) , puis en factorisant par 2sin(ia):
=2sin(ia)*(cos(a)*sin(ia)+sin(a)*cos(ia))=2sin(ia)*sin((i+1)a)

Ensuite, je réécrit l'expression de départ qui donne:

\Large \sum_{i=1}^n\frac{1}{2sin(ia)*sin((i+1)a)}

A partir de là, j'essaie de mettre sous la forme:
= \Large \frac{1}{2}*\sum_{i=1}^n\frac{A}{sin(ia)}-\frac{B}{sin((i+1)a)}
où A et B sont des expressions à déterminer telles que:

Asin((i+1)a)-Bsin(ia)=1

Mais c'est là que je bloque, puisque la formule de duplication donne seulement:

sin(ia)*(Acos(a)-B)+Asina*cos(ia)=1 , et je n'arrive pas à déterminer les expressions de A et de B... Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il-vous-plaît ?
Merci d'avance ^^

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme Télescopique 28-07-20 à 22:33

Bonsoir, vu le résultat que donne Wolfram, ça n'a pas l'air gagné :

Posté par
Ciramorre : Somme Télescopique 29-07-20 à 11:58

Bonjour Glapion,
Merci de m'avoir montré ce site, je ne le connaissais pas auparavant, mais l'expression explicite de la somme qu'il donne me paraît trop compliquée, du coup je me demande si elle peut se simplifier, puisque cet exercice est censé être une somme télescopique.
Mais il est vrai que je ne vois pas comment cette somme peut se télescoper, puisque j'ai trouvé en tâtonnant des expressions possibles de A et B:

\large A=-\frac{1}{sin((i-1)a)} et \large B=-\frac{2cos(a)}{sin((i-1)a)} , en effet, l'égalité sin(ia)*(Acos(a)-B)+Asina*cos(ia)=1 est respecté puisque:

sin(ia)\frac{-cos(a)+2cos(a)}{sin((i-1)a)}-\frac{sin(a)*cos(ia)}{sin((i-1)a)} = \frac{sin((i-1)a)}{sin((i-1)a)}=1
ce qui donne:

\Large \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\frac{2cos(a)}{sin((i-1)a)*sin((i+1)a)}-\frac{1}{sin((i-1)a)*sin(ia)}

Et à partir de là, l'écart entre les indices n'est pas respecté pour pouvoir télescoper la somme...

Posté par
lionel52re : Somme Télescopique 29-07-20 à 12:32

Hello! Où es tu tombé sur cet exercice?

Posté par
Ciramorre : Somme Télescopique 29-07-20 à 13:09

Bonjour Lionel,
J'ai trouvé cet exercice sur internet en tapant "sommes et produits télescopiques smo", et c'est sur le premier site portant ce nom (sans le smo, qui lui n'est écrit que en haut à droite du site).
Ceci est l'exercice 11 (en bas de la 3ème page).

Posté par
mousse42re : Somme Télescopique 29-07-20 à 13:26

Salut

tu as donc oublié cette information a=\dfrac{\pi p}{q} avec (p,q)\in \Z\times \Z^*

Posté par
mousse42re : Somme Télescopique 29-07-20 à 13:29

Correction
L'oubli est le suivant :"la fraction   \dfrac{a]{\pi ] est irrationnelle"

Posté par
mousse42re : Somme Télescopique 29-07-20 à 13:31

mousse42 @ 29-07-2020 à 13:29

Correction
L'oubli est le suivant :"la fraction  \dfrac{a}{\pi} est irrationnelle"


Mais bon, de mon côté je ne vois pas

Posté par
lionel52re : Somme Télescopique 29-07-20 à 14:51



Je me sers comme dans l'indication de l'égalité
cotan(a) - cotan(b) = 1/tan(a) - 1/tan(b) = (tan(b) - tan(a))/(tan(a)tan(b)) = sin(b-a)/(cos(a)cos(b)tan(a)tan(b)) = sin(b-a)/(sin(a)sin(b))

J'applique ensuite :


sin(a)/sin(ia)sin((i+1)a)) = cotan(ia) - cotan((i+1)a)   et c'est gagné

La somme vaut donc sauf erreur : \frac{1}{2sin(a)} \times (cotan(a)-cotan((n+1)a))

Posté par
Ciramorre : Somme Télescopique 29-07-20 à 15:34

Merci beaucoup !
J'ai vérifié, la somme que tu as annoncé est bien la bonne

lionel52 @ 29-07-2020 à 14:51


La somme vaut donc sauf erreur : \frac{1}{2sin(a)} \times (cotan(a)-cotan((n+1)a))


Et c'est vrai que j'ai oublié de signaler que la fraction \large \frac{a}{\pi} est irrationnelle, mais je ne voyais pas comment m'en servir...

Posté par
jandri Correcteurre : Somme Télescopique 29-07-20 à 17:18

Bonjour Ciramor,

quand tu cherchais une forme télescopique, tu recherchais une fonction A telle que A(i)\sin((i+1)a)-A(i+1)\sin(ia)=C (indépendante de i mais pas nécessairement 1).

En recherchant une fonction trigonométrique on voit rapidement que A=\cos convient avec C=\sin(a).

Posté par
Ciramorre : Somme Télescopique 29-07-20 à 18:36

Merci Jandri, c'est vrai que je n'ai pas pensé à établir le lien entre mes expressions de A et B pour que l'écart d'indice permette le télescopage. Du coup, on retrouve bien le même résultat puisque:

\Large \frac{1}{2sina}\sum_{i=1}^n\frac{cos(ia)}{sin(ia)}-\frac{cos((i+1)a)}{sin((i+1)a)}=\Large \frac{1}{2sin(a)}*(\frac{cosa}{sin(a)}-\frac{cos((n+1)a)}{sin((n+1)a)})=\Large \frac{cot(a)-cot((n+1)a)}{2sin(a)}

Posté par
jandri Correcteurre : Somme Télescopique 29-07-20 à 18:44

Oui c'est en fait exactement le même calcul mais cela évite d'utiliser l'indication.

Le résultat final se simplifie en \dfrac{\sin(na)}{2\sin^2(a)\sin((n+1)a)}

Posté par
Ciramorre : Somme Télescopique 29-07-20 à 19:16

Ah oui, je n'avais pas vu cette simplification trigonométrique:

\Large \frac{cos(a)sin((n+1)a)-cos((n+1)a)sin(a)}{2sin^2(a)sin((n+1)a)}=\Large \frac{sin(na)}{2sin^2(a)sin((n+1)a)}

Merci ^^


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