Niveau Maths sup

Somme trigonométrique

Posté par
john_kennedy 08-09-07 à 13:52

Bonjour,

je dois calculer $\LARGE\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n})$ .

On m'a fait vérifier que $\LARGE sin(\frac{k\pi}{n}) = \frac{-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}{2i} (1-e^{\frac{2ik\pi}{n})$

Il est clair qu'il suffit d'utiliser le second membre, mais je n'aboutie pas dans mes calculs...

De plus j'ai une autre question: est ce que $\LARGE\prod_{k=1}^{n-1}e^{\frac{-ik\pi}{n}}-e^{\frac{ik\pi}{n}} = \prod_{k=1}^{n-1}e^{\frac{-ik\pi}{n}} - \prod_{k=1}^{n-1}e^{\frac{ik\pi}{n}}$ ?

Merci par avance,
JFK

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 13:58

Bonjour

Pour le premier, il suffit de savoir calculer le produit $\Large{\Bigprod_{k=1}^{n}(1-e^{\frac{2ik\pi}{n}})}$ .

Pour ce faire, considère le polynôme $\Large{\Bigprod_{k=1}^{n}(x-e^{\frac{2ik\pi}{n}})}$ et simplifie son écriture.

Kaiser

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 13:59

Ta deuxieme question est une horreur tu sais ! est ce que (a+b)*(c+d) = a*c+b*d ???? c'est exactement ce que tu demande enfait ^^

Sinon, pour calcule ce produit il va falloir regarder du coté des polynome je pense.

essai de construire un polynome (... Tchebitchev ? ) dont les racines sont sin(kPi/n), tu en déduis la valeur du produit avec les relations coneficient racines ensuite.

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 13:59

J'oubliais : pour ta deuxième question, c'est évidemment faux !
Par exemple, (a+b)(c+d) n'est pas égal à ac+bd.

Kaiser

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 14:11

Oui c'est bien ce que je pensais pour la 2), mais ca m'évite de partir dans des calculs monstrueux.

Etant donné que je n'ai pas encore fait les polynômes, il n'y a pas d'autres moyens? Sinon, je vais essayer d'avancer un peu mon cours dans ce cas.

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 14:14

Hum je vais chercher un peu, mais je suis pas sur qu'on puisse echaper aux polynome pour ce genre de somme... d'ou viens l'exercice ?

Posté par re : Somme trigonométrique 08-09-07 à 14:17

Je l'ai trouvé sur internet, sur le site d'un prof de maths. L'exercice est dans la section "Nombres complexes" donc j'ai tout fait sauf celui la