Ecris U_n+1 et U_n sans signe sigma donc sous forme d'une somme.
Puis fais la différence entre les deux.
tu vas te retrouver avec une somme de termes positifs et avec un -1/(n+1) au bout
la somme de termes positifs, compte combien il y en a (tu vas trouver qu'il y en a p) ?
puis repère le terme le plus petit de la somme et enfin écris que la somme est plus grande que p fois ce terme le plus petit.
ça te permettra de trouver le signe de U_n+1-U_n

Merci Glapion !
Mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire par écrire Un+1 et Un sous forme s'une somme sans sigma ....?

@ mistoufle

As-tu entendu parler des  " sommes de Riemann ? "

Non, je n'ai pas encore fait les sommes de Riemann!

Alors ce U_n+1-U_n il vaut quoi ?

mmmm... je suis pas sure...
Un+1-Un= ?

Pas très cohérent....

non
U_n=
U_n+1=

Or n+(p-1)n = np et n+1+(p-1)(n+1) = (n+1)p donc :

U_n+1-U_n =
maintenant continue avec les indications que je t'ai données dans mon premier post.

Merci Glapion!
Je ne comprends pas pourquoi dans la différence Un+1-Un il y a le terme 1/np alors qu'il appartient à Un.. pourquoi ce terme ne devient-il pas négatif ..?
Si je continu, du coup je trouve qu'il y a (p+1-1) termes donc p termes ..
et le plus petit terme serait 1/np qui en le multipliant par p me donne 1/n qui est supérieur à 0! Merci beaucoup!

Sorry, le plus petit terme est 1/(np+p) qui est supérieur à O quand je le multiplie à p

oui tu as raison, le 1/np se simplifie

U_n+1-U_n =

p termes donc, le plus petit est 1/(np+p)
la somme des termes positifs est donc supérieure à p/(np+n) = 1/(n+1)
et donc U_n+1-U_n > 1/(n+1)-1/(n+1) = 0
donc suite croissante.

Super merci beaucoup !!
J'aimerais utiliser le théorème de convergence monotone mais je ne vois pas comment montrer que cette suite est majorée... Auriez-vous une idée ?
Peut-être par encadrement mais je ne vois pas comment...

Oui, majore U_n =

(par le nombre de termes de cette somme multiplié par le plus grand)