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Sommes de Darboux

Posté par
Unknown-Girl 08-01-11 à 12:04

Salut tout le monde,
Je voudrais savoir comment calculer les sommes de Darboux s(f,\sigma_n) et S(f,\sigma_n) avec f(x)=exp{x} et \sigma_n est la subdivision x_k=\frac{k}{n} de [0,1].
Merci d'avance.

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 12:23

Je vais vous montrer ce que j'ai fait et dites moi si c'est juste ..

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 12:32

s=\sum_{k=1}^n (x_{k+1}-x_k)Inf(I_k)

Donc s=\frac{1}{n}f(0)+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n}f(\frac{n-1}{n})

d'où s=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})

Même chose pour S. Alors ?

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 14:44

Coucou is there anybody ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:05

Bonjour

Oui, c'est bien l'idée, mais il faut remplacer puisque tu connais f.

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:08

Okay mais est ce que c'est bien vrai que l'inf sur chaque intervalle [\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}] c'est bien f(\frac{k}{n}) et le sup est f(\frac{k+1}{n}) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:11

Ici, c'est vrai parce que f(x)=e^x qui est une fonction croissante. C'est faux en général!

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:12

Okay

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:22

La limite de s et S quand n tend vers l'infini c'est 0 ? Normal ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:35

Non, ce n'est pas normal. Tu devrais trouver e-1

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:41

Huh, j'ai essayé par encadrement mais ça ne marche pas ..

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 15:48

Je trouve que e{\frac{1}{n}} \le \frac{1}{n} \sum e{\frac{k}{n}} \le e  pour S
et 1 \le \frac{1}{n} \sum e{1 - \frac{1}{n}} \le e pou s

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 16:42

C'est déjà mieux... As-tu remarqué que \sum e^{k/n} est une somme de termes de la suite géométrique de raison e^{1/n}, ce qui permet de la calculer explicitement?

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 16:52

Mercii c'est fort La dernière question de l'exo dit : est ce que f est intégrable sur [0,1] si oui quelle est son intégrale ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 17:03

Oui, bien sur, tu devrais trouver la même limite pour les deux sommes et c'est ça l'intégrale (elle vaut e-1 )

Posté par
Unknown-Girlre : Sommes de Darboux 08-01-11 à 18:12

C'est bon


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